3.3 Ekvationer

Genomgång

Quiz

Övningar

Genomgång+

Nästa avsnitt >>

Vad är en ekvation?

\( \qquad \)

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

endast EN variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)

\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)

Kontroll:

Sätt in lösningen i ekvationens båda led:

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \Rightarrow \, x = {\color{Red} 2} \) är en korrekt lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.

Två lösningsmetoder:

1. Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

\( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)

\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

\( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

\( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

\( \;\, \Downarrow \)

\( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

\( \, 2 \, \cdot \; \)

\( \quad \)

\( \; = \;\, 4 \)

\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

\( \quad\;\;\; \Downarrow \)

\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)

2. Allmän metod

Steg 1

Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)

Ekvationslösningens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

Likhetstecknet \( \; = \; \) Vågens balans

HL och VL\( \; = \; \) Vågens skålar

Bibehåll balansen genom att göra samma

sak på båda vågskålarna, dvs:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !

När saknar en ekvation lösning?

Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.

När är alla tal lösningar till en ekvation?

Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.