Vilken figur har större area?

Man har ett snöre av en viss längd och vill begränsa med det en yta av maximal

storlek. Är det då bättre att forma snöret till en cirkel eller till en kvadrat?

Slutsats

Ska cirkeln och kvadraten ha samma omkrets måste sambandet ovan gälla.

Sambandet ovan är en funktion: \( \qquad \)

\( \displaystyle a \, = \, f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r \)

Dvs ett värde på \( \, r \, \) bestämmer endast ett värde på \( \, a \, \).

\( \, r \, \) är funktionens oberoende och \( \, a \, \) funktionens beroende variabel.

Lös Cirkel-kvadrat problemet i tre steg:

Steg 1 Ta exemplet \( \, r = 4 \, \). Beräkna \( \, a = f(4) \, \). Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?

Steg 2 Ta flera exempel, t.ex. \( r = 2 \), \( \; r = 6 \; \) och \( \; r = 8 \). Gör samma sak som i steg 1.

Steg 3 Lös uppgiften generellt med \( \, r \, \) och \( \, a \, \) som variabler.

Ställ upp ett uttryck för arean till resp. figur.

Bilda förhållandet (kvoten) mellan deras areor dvs \( \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, \).

Räkna exakt dvs bibehålla \( \, \pi \, \) som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.

Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har alltid större area?

Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av \( \, r \, \) och \( \, a \, \)?

Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.