4.3 10-logaritmer
| << Förra avsnitt | Genomgång | Quiz i Mattekollen | Övningar | Nästa avsnitt >> |
10-logaritmen
\(\lg 100\) = tal som basen \(10\) ska upp- höjas till, för att ge \(100\). Det talet är \({\color{Red} 2}\). |
Logaritm = exponent 10-logaritm = exponent till basen \( 10 \). \(\lg\) är symbolen för 10-logaritmen. Potensform: \( \qquad\;\;\; 100 \; = \; 10\,^{\color{Red} 2} \) \( \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow \) Logaritmform: \( \quad \lg\,100 \; \)\( \; = \; {\color{Red} 2} \)
\(\lg a \, \) = tal som basen \(10\) ska upphö- \( \qquad\;\;\; \) jas till, för att ge \( \, a \, \). |
\( 10\)-logaritmen får man genom att skriva om den kända potensformen till den ekvivalenta logaritmformen:
\( \qquad {\rm Potensformen\quad} 10^{\,2} \, = \, 100 \qquad\quad \Longleftrightarrow \qquad\quad {\rm Logaritmformen\quad} 2 \, = \, \lg\,100 \)
Exempel på 10-logaritmer
|
\(\lg 125 \, \) = tal som basen \(10\) ska upp- \( \qquad\quad\;\;\; \) höjas till, för att ge \(125\). Räknaren: \( \boxed{\text{LOG}}\) \((125) = \) \( {\color{Red} {2,09691\ldots}} \) Potensform: \( \;\;\; 125 \; = \; 10\,^{\color{Red} {2,09691\ldots}} \) \( \qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow \) Log-form: \( \;\; \lg\,125 \; \)\( \; = \; {\color{Red} {2,09691\ldots}} \) |
\( \qquad \) | \(\lg 45 \, \) = tal som basen \(10\) ska upp- \( \qquad\quad\; \) höjas till, för att ge \(45\). Räknaren: \( \boxed{\text{LOG}}\) \((45) = \) \( {\color{Red} {1,65321\ldots}} \) Potensform: \( \;\;\;\;\; 45 \; = \; 10\,^{\color{Red} {1,65321\ldots}} \) \( \qquad\qquad\qquad\quad\;\,\, \Updownarrow \) Log-form: \( \;\;\;\; \lg\,45 \; \)\( \; = \; {\color{Red} {1,65321\ldots}} \) |
I räknaren står knappen \( \; \boxed{\rm{LOG}} \; \) för \( \, 10\)-logaritmen, medan man använder symbolen \( \lg \, \) när man skriver.
\(\lg\,0,1\) = \(\lg\,(\frac{1}{10})\) = tal som basen \(10\)
ska upphöjas till, för att ge \(\frac{1}{10}\).
Potensform: \( \quad\;\;\; \frac{1}{10} \; = \; 10\,^{\color{Red} {-1}} \)
\( \qquad\qquad\qquad\qquad\, \Updownarrow \)
Log-form: \( \;\;\;\; \lg\,0,1 \; \)\( \; = \; {\color{Red} {-1}} \)
10-logaritmfunktionen och dess definitionsmängd
 10-logaritmfunktionen |
\( \qquad \) |
Funktionen \( \, y \, = \, \lg x \, \) är definierad endast för \( \, x>0 \, \). För \( \, x \leq 0 \, \) är den inte definierad. Exempel: \( \boxed{\text{LOG}}\) \(({\color{Red} {-1}}) \quad \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} \) \( \boxed{\text{LOG}}\) \(({\color{Red} {\;0\;}}) \quad\, \rightarrow \quad {\color{Red} {\text{ERROR}}} \)
|
Definitionsmängden ovan gäller endast inom de reella talen.
För \( \, x < 0 \, \) har \( \, y \, = \, \lg x \, \) komplexa värden.
Här behandlas 10-logaritmen endast inom de reella talen.
Inversegenskapen
Ta fram din miniräknare och genomför följande två experiment:
Experiment 1
Tryck på knappen för \( \, 10\)-logaritmen \( \quad \boxed{\text{LOG}} \quad \) och mata in sedan \( \qquad {\color{Red} {1,5}} \)
Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.
Mata in nu \( 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \) och tryck sedan på knappen \( \; \boxed{\text{ANS}} \; \) som lagrar decimaltalet ovan.
Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, {\color{Red} {1,5}} \, \) som du matat in i början.
Experiment 1 har visat:
- \( 10^{\,\lg{\color{Red} {1,5}}} \, = \, {\color{Red} {1,5}} \)
Experiment 2
Mata in först \( 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \) och sedan \( \qquad {\color{Red} {2,5}} \)
Stäng parentesen och tryck på ENTER. Låt resultatet, något decimaltal, stå i displayen.
Tryck på knappen för \( \, 10\)-logaritmen \( \quad \boxed{\text{LOG}} \quad \) och sedan på knappen \( \quad \boxed{\text{ANS}} \quad \).
Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \, {\color{Red} {2,5}} \, \) som du matat in i början.
Experiment 2 har visat:
- \( \lg\,(10^{\,{\color{Red} {2,5}}}) \, = \, {\color{Red} {2,5}} \)
Generellt gäller:
\( 10\)-logaritmen \( \, y \, = \, \lg\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, 10\,^x \, \), dvs:
\( \qquad \lg\,(10^{\,{\color{Red} x}}) \, = \, {\color{Red} x} \quad {\rm och\; } \quad 10^{\,\lg{\color{Red} x}} \, = \, {\color{Red} x} \qquad\quad \) I ord: \( \quad \boxed{\text{LOG}} \; \) och \( \; 10 \) \( \boxed{\text{ ^ }} \; \) tar ut varandra .
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( 10^{\,x} \) och sedan \( \lg\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).
Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( 10^{\,x} \) och \( \lg\,x \) direkt efter varandra.
Både \( \lg\,(10^{\,x}) \) och \( 10^{\,\lg\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:
Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experimenten ovan var exempel på detta. För att t.ex. få \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \, \), beräknades först \( \, 10^{\,2,5} \) och sedan \( \, \lg\,(10^{\,2,5}) \).
Exponentialekvationer av typ \( \; 10\,^x \, = \, b \; \)
Logaritmering och användning av inversegenkapen löser denna typ av ekvation:
\(\begin{array}{rcll} {\rm Potensform:\qquad\qquad} 10^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\lg} \\ {\color{Red} {\lg}}\,({\color{Red} {10}}^{\,x}) & = & \lg\,68 & {\color{Red} {\lg}} {\rm \;och\;} {\color{Red} {10}}^{\,\cdot} {\rm \;tar\;ut\;varandra\;i\;VL} \\ {\rm Logaritmform:\qquad\qquad} x & = & \lg\,68 & \\ x & = & 1,832508913\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} 10^{\,1,832508913} & = & 68 & \end{array}\)
Att lösa ekvationen \( \, 10\,^x = b \, \) innebär att skriva om den från potensformen till logaritmform, dvs:
\( \qquad {\rm Potensformen\quad} 10^{\,x} \, = \, b \qquad\quad \Longleftrightarrow \qquad\quad {\rm Logaritmformen\quad} x \, = \, \lg\,b \)
Inversegenkapen tillåter övergången i båda riktningar genom logaritmering resp. exponentiering.
Generellt:
Exponentialekvationen \( \;\;\; 10\,^x \, = \, b \)
har lösningen: \( \qquad\qquad\quad x \, = \, \lg\,b \)
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=rYHdUrKqxaU
http://goto.glocalnet.net/larsthomee/logaritm.html
http://www.kck.amal.se/webtutor/ovel/mattec/Funktioner/F3.html
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.3_Logaritmer
Copyright © 2023 Lieta AB. All Rights Reserved.
