3.4 Ekvationer med x på båda sidor
| Genomgång | Quiz | Övningar | Lathund | Nästa avsnitt >> |
| << Förra avsnitt |
Med "Ekvationer med \( \, x \, \) på båda sidor" menas ekvationer som har \( \, x\)-termer på båda sidor av likhetstecknet.
Fall 1: \( x\)-term med större koefficient finns på VL
Med "koefficient" menas det tal som står framför ett \( \, x \, \).
T.ex. är 4 koefficienten till \( x\)-termen \( 4\,x\).
2 är koefficienten till \( x\)-termen \( 2\,x\).
\( \qquad \)
\( \qquad {\bf{\color{LimeGreen} 4}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 4\,x \, \).
\( \qquad {\bf{\color{Red} 2}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 2\,x \): \( \quad {\bf{\color{LimeGreen} 4}} \, > {\bf{\color{Red} 2}} \)
Steg 1
Samla alla \( x\)-termer på det led vars \( x\)-term
har större koefficient, i exemplet ovan på VL:
\(\begin{array}{rcl} {\bf{\color{LimeGreen} 4}}\,x \, + \, 6 & = & {\bf{\color{Red} 2}}\,x \, + \, 14 \\ \quad 4\,x \, + \, 6 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} & = & 2\,x \, + \, 14 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} \quad \\ 2\,x \, + \, 6 & = & 14 \end{array}\)
Detta för att undvika negativa \( x\)-termer.
Steg 2
Samla alla konstanta termer (utan \(x\)) på ekva-
tionens andra led, i exemplet ovan på HL:
\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 6 & = & 14 \\ \qquad 2\,x \, + \, 6 \; {\color{Red} {- \; 6}} & = & 14 \; {\color{Red} {- \; 6}} \\ 2\,x \, & = & 8 \end{array}\)
Steg 3
Lös ekvationen enligt den allmänna metoden:
\(\begin{array}{rcl} 2 \cdot x \, & = & 8 \\ \qquad\qquad\quad \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{8}{{\color{Red} {2}}} \\ x \, & = & 4 \end{array}\)
Fall 2: \( x\)-term med större koefficient finns på HL
\( \qquad \)
\( \qquad {\bf{\color{Red} 5}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 5\,x \, \).
\( \qquad {\bf{\color{LimeGreen} 2}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 2\,x \): \( \quad {\bf{\color{Red} 5}} \, > {\bf{\color{LimeGreen} 2}} \)
Steg 1
Samla alla \( x\)-termer på det led vars \( x\)-term har
större koefficient, i fall 2 på HL:
\(\begin{array}{rcl} {\bf{\color{LimeGreen} 2}} \,x \, + \, 16 & = & {\bf{\color{Red} 5}} \,x \, + \, 7 \\ \quad 2\,x \, + \, 16 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} & = & 5\,x \, + \, 7 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} \quad \\ 16 & = & 3\,x \, + \, 7 \end{array}\)
Detta för att undvika negativa \( x\)-termer.
Steg 2
Samla alla konstanta termer (utan \(x\)) på ekva-
tionens andra led, i fall 2 på VL:
\(\begin{array}{rcl} 16 & = & 3\,x \, + \, 7 \\ \qquad\quad 16 \; {\color{Red} {- \; 7}} & = & 3\,x \, + \, 7 \; {\color{Red} {- \; 7}} \\ 9 \, & = & 3\,x \end{array}\)
Steg 3
Lös ekvationen enligt den allmänna metoden:
\(\begin{array}{rcl} 9 \, & = & 3 \cdot x \\ \qquad\qquad\quad \displaystyle \frac{9}{{\color{Red} {3}}} & = & \displaystyle \frac{3 \cdot x}{{\color{Red} {3}}} \\ 3 \, & = & x \\ x \, & = & 3 \end{array}\)
Fall 2:s filosofi:
Lösningsmetoden i fall 2 är en rekommen-
dation som gör beräkningen effektivare:
Man undviker hanteringen av negativa \( x\)-
termer och minustecknet, vilket
\( \quad\;\;\; \) minskar risken för felräkning.
När har en ekvation ingen lösning alls?
Exempel:
\(\begin{array}{rcl} 3 \, (5 \, + \, x) & = & 3\,x \, + \, 18 \\ 15 \, + \, 3\,x & = & 3\,x \, + \, 18 \\ \;\; 15 \, + \, 3\,x \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} & = & 3\,x \, + \, 18 \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} \\ 15 & = & 18 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)
\( \;\; \) Ekvationen har ingen lösning alls. Kort:
\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.
När har en ekvation oändligt många lösningar?
Exempel:
\(\begin{array}{rcl} 3 \, (5 \, + \, x) & = & 3\,x \, + \, 15 \\ 15 \, + \, 3\,x & = & 3\,x \, + \, 15 \\ \;\; 15 \, + \, 3\,x \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} & = & 3\,x \, + \, 15 \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} \\ 15 & = & 15 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)
\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:
\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.
Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.
