Varför är division med 0 inte definierad?

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
        <<  Tillbaka till demosidan          Vad händer om man gör det?      


I hela det här avsnittet avses med tal de reella talen, se Olika typer av tal.

När man matar in \( \, 1 \, / \, 0 \, \) i räknaren får man ERROR.

Varför?

Praktisk förklaring

Istället för att mata in \( \, 1 \, / \, 0-\) för då får du ERROR \(-\) mata in i din miniräknare:

\[ \boxed{1 \, / \, 0,1} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,01} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,001} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,0001} \qquad \ldots \]
\( x\, \) \( 1 \, / \, x \)
\( 0,1\, \) \( 10\, \)
\( 0,01\, \) \( 100\, \)
\( 0,001\, \) \( 1000\, \)
\( 0,000\,1 \) \( 10\,000 \)
\( 0,000\,01 \) \( 100\,000 \)
\( 0,000\,001 \) \( 1\,000\,000 \)
\( 0,000\,000\,1 \) \( 10\,000\,000 \)
\( \cdots \) \( \cdots \)
\( \to 0 \) \( \to \infty \)
\( \qquad\quad \) Eller rita grafen \( \, y \, = \, 1/x \, \) och titta på \( \, x \rightarrow 0 \,\):

    Praktisk forklaring.jpg


Både tabellen och grafen visar:

Ju mindre \( \, x \, \) blir desto större blir \( \, 1/x \, \). I gränsfallet \( \, x=0 \, \) blir \( \, 1/x \, \) oändligt stort.

Man säger: \( \displaystyle {1 \over x} \) går mot oändligheten när \( \, x\, \) går mot \( \, 0\). Symbolen för oändligheten är \( \infty \, \).

Men \( \infty \) är inget reellt tal. Därför är det fel att skriva \( \displaystyle \, {1 \over 0} \; = \; \infty \; \).

Korrekt: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).

Att dividera med \( \, 0 \, \) skulle kräva införandet av \( \, \infty \, \) som ett tal.

Men varför är \( \, \infty \, \) inget reellt tal  ?

Vilket reellt tal man än inför som värde för \( \, \infty \, \) kan man genom att t.ex. addera 1 till det

få ett ännu större tal. Så det valda värdet var inte störst osv.


Teoretisk förklaring

Vad betyder division, t.ex. \( \, 12 / \color{Red} 4 \, \)?

\[ 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 4 = 12 \]

Uppenbarligen är detta tal \( \quad x = 3 \quad \) därför att \( \, 3 \cdot \color{Red} 4 = 12 \).

Nu ersätter vi \( \, \color{Red} 4 \, \) med \( \, \color{Red} 0 \, \):

Vad betyder då \( \, 12 / \color{Red} 0 \, \)?

\[ 12 / \color{Red} 0 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x \; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} \]

Därför att:    Det finns inget sådant tal \( \, x \, \) eftersom \( \;\; x \cdot \color{Red} 0 = 0 \;\;\; \neq 12 \, \).


Alternativt:

Ett annat sätt är att tolka divisionen som en upprepad subtraktion:

Operationen \( \, 12 / \color{Red} 4 \, \) kan nämligen tolkas som:

\( \qquad\qquad 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad \) Därför: \( \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \)

Nu ersätter vi \( \, \color{Red} 4 \, \) med \( \, \color{Red} 0 \, \):

Operationen \( \, 12 / \color{Red} 0 \, \) kan tolkas som: \( \qquad 12 \; - \, \color{Red} 0 \, - \, \color{Red} 0 \, - \, \ldots - \, \color{Red} 0 \; = \; 12 \)

Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre:

Vi kan aldrig "tömma" \( \, 12 \, \) genom upprepad subtraktion med \( \, \color{Red} 0 \, \) (dvs division med \( \, \color{Red} 0 \, \)).


Slutsats:

Division med \( \, 0 \, \) är inom de reella talen inte definierad.


Se även: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?







Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.