Skillnad mellan versioner av "Ekvationer"

Uppgift:

Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).

Lösning:

Vietas formler

Bevis med p-q formeln

2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna \( \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:

\( \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p\)

Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:

\( \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q \)

Omformningen kring \( \color{Red} = \) sker enligt konjugatregeln \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) om vi sätter \( \displaystyle a = -\frac{p}{2} \) och \( \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\).

Detta bevisar Vietas andra formel.

Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter

Lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) till 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, \) är nollställena till 2:gradspolynomet:

\[ x^2 + p\,x + q \]

Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]

Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom Polynom i faktorform och/eller Jämförelse av koefficienter.

Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än \(2\) och formuleras för polynom av grad \(n\).

Den franske matematikern François Viète var en av de första som på \(1500\)-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen.

Därför kallas formlerna efter honom.