3.5 Lösning 7e
Från c) vet vi att SJ:s intäkt efter en prishöjning på \( \, x \;{\rm kr} \, \) blir:
\[ I(x) = (20\,000 - 80\,x) \cdot (200 + x) = -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 \]
SJ:s nuvarande intäkt är:
\[ I(0) = 20\,000 \cdot 200 = 4\,000\,000 \]
Det löner sig inte med en prishöjning om intäkten efter höjningen är mindre än den nuvarande intäkten:
\[ \begin{array}{rcl} -80\,x^2 + 4\,000\,x + 4\,000\,000 & < & 4\,000\,000 \\ -80\,x^2 + 4\,000\,x & < & 0 \\ 80\,x\,(-\,x + 50) & < & 0 \\ 80\,x\,(-\,x + 50) & < & 0 \\ x_1 & < & 0 \\ -\,x + 50 & < & 0 \\ 50 & < & x \\ x_2 & > & 50 \end{array}\]
\( \, x_1 \, < \, 0 \) innebär en prissänkning vilket inte är lönsamt.
\( \, x_2 \, > \, 50 \) innebär att alla prishöjningar större än \( \, 50 \;{\rm kr} \, \) inte kommer att löna sig, dvs inte kommer att öka SJ:s intäkt.
