3.4 Lösning 7
Från Mathonline
- \[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 \]
- \[ \, f\,'\,(x) \, = \, 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \]
- \[ \, f\,''\,(x) \, = \, 12\,x^2 \, - \, 20\,x^3 \]
- \[ \, f\,'''\,(x) \, = \, 24\,x \, - \, 60\,x^2 \]
- \[ \, f\,^{\rm (IV)}\,(x) \, = \, 24 \, - \, 120\,x \]
- \[ f\,'(0) \, = \, 0 \]
- \[ f\,''(0) \, = \, 0 \]
- \[ f\,'''(0) \, = \, 0 \]
- \[ \, f\,^{\rm (IV)}\,(0) \, = \, 24 \, > \, 0 \]
De första tre derivatorna är \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \).
Den första derivata som inte är \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) har jämn grad \( \, 4 \, \) och är dessutom \( > 0 \, \).
Slutsats ur regeln i övn 7: \( \, x \, = \, 0 \, \) är en minimipunkt.
