2.6 Derivatan av exponentialfunktioner

Målet i detta avsnitt är att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \) med en godtycklig bas \( a > 0 \).

Detta gör vi genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) med basen \( \, e = \) Eulers tal

och sedan gå över till godtycklig bas \( \,a \). Rpeptera gärna Talet e och den naturliga logaritmen från kap 1 Algebra & funktioner.

Deriveringsregeln för \( y \, = \, e\,^x \)

Derivatan av exponentialfunktionen med basen \( \, e \, \) är funktionen själv:

\[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & e\,^x \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\ {\rm då} & y\,' & = & e\,^x \end{array}\]

OBS! Förväxla denna regel inte med Regeln om derivatan av en potens, därför att:

\( y \, = \, e\,^x \, \) är ingen potens- utan en exponentialfunktion. \( \, x \, \) förekommer i exponenten, inte i basen.

Ex.: Derivatan av \( \, f(x) = e\,^2 \, \) är inte \( \, 2 \, e \, \) utan \( \; f\,'(x) = 0 \; \), för \( \, e \, \, = \, 2,718281828\ldots\) är en konstant och därmed även \( \, e\,^2 \, \).

Ett försök med derivatans definition

Derivatans definition för \( \, y = f(x) = e\,^x \, \) leder till:

\[ y\,' = \lim_{h \to 0}\,{f(x + h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^{x + h} - e\,^x \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^x \cdot e\,^h - e\,^x \over h} = \lim_{h \to 0}\,{e\,^x \, (e\,^h - 1) \over h} = e\,^x \cdot \lim_{h \to 0}\,{e\,^h - 1 \over h} \]

Det är lite svårt för oss att inse att värdet på den sista limes är \( \, 1 \). Detta kan t.ex. visas med den s.k. potensserieutvecklingen av \( \, e\,^x \) \(-\) som dock inte ingår i gymnasiematematiken. Så vi kan inte slutföra beviset med derivatans definition.

Därför väljer vi en annan metod för att bevisa deriveringsregeln \( \; y = e\,^x \, \Rightarrow \, y\,' = e\,^x \, \).

Ny bevisidé

Kan bland exponentialfunktionerna \( \; y = b\,^x \; \) basen \( \, b \, \) väljas så att derivatan blir samma som funktionen: \( \; y\,' = b\,^x \) ?

Istället för att fråga efter derivatan, kräver vi derivatan = funktionen och frågar efter en bas som uppfyller detta krav.

Svaret ges av Eulers bevis nedan.

Frågeställningen ovan har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( \, e \, \) som redan nämndes i Hur kom(mer) talet \( \, e \,\) till? och som vi nu med limes kan formulera så här:

\[ \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \; =\; e \; = \; 2,718281828\ldots \]

På 1700-talet bevisade Euler denna formel, varför talet \( \, e \, \) kallats efter honom.

Eulers bevis

Vi antar att det finns en bas \( \,b \, > \, 0 \) \(-\) som än så länge är okänd \(-\) så att:

\[\begin{array}{lclcl} y & = & f\,(x) & = & b\,^x \\ {\color{Red} {y\,'}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {f\,'\,(x)}} & {\color{Red} =} & {\color{Red} {b\,^x}} \end{array}\]

I den andra raden har vi formulerat kravet: derivatan = funktionen.

Nu konstruerar vi tangenten till \( y = b\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \):

Ekvationen för tangenten till kurvan \( y = b\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \) har \(\,k\)-formen \( \; y \, = \, k\,x \, + \, m \; \) .

Från tidigare vet vi att tangenten till kurvan \( \, y = b\,^x \, \) i \( \, x = 0 \, \) har en lutning \(\,k\,\) som är funktionens derivata i denna punkt.

Derivatan har vi: \( \, {\color{Red} {f\,'(x) = b\,^x}} \, \) (se ovan). Så vi kan beräkna denna lutning:

\[ k \, = \, {\color{Red} {f\,'(0) \, = \, b\,^0}}\, = \, 1 \]

Tangentens ekvation blir då \( \, y \, = \, x \, + \, m \, \) i vilken vi sätter in

tangeringspunktens koordinater \( \, (0, \, b\,^0) \, = \, (0, 1) \, \) för att bestämma \( \, m \, \):

\[\begin{array}{rcl} y & = & x \, + \, m \\ 1 & = & 0 \, + \, m \\ 1 & = & m \end{array}\]

Således blir tangentens ekvation \( \boxed{\;y \, = \, x \, + \, 1\;} \)

\( \quad \)

Andra exponentialfunktioner \( \, y = c\,^x \, \) med \( \, c \neq b \, \) skär denna tangent i två punkter, medan \( \, y = b\,^x \, \) med \( \, y\,' = b\,^x \, \) tangerar den i punkten \( \, (0, 1) \).

På tangenten \( \, y = x + 1 \, \) konstruerar vi en punktföljd \( P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots \) vars \( \,x\)-koordinater \( \, x_n \, \) bildar talföljden:

\[ 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \quad {\rm med} \quad x_n \, = \, {1 \over n} \quad {\rm som\;allmän \;term,\;där:} \qquad n = 1,\,2,\,3,\,\ldots \]

Talföljden \( \,x_n \, \) ger pga \( \, y = x + 1 \, \) upphov till följande talföljd:

\( \,y_n \, = \, x_n + 1 \, = \, {1 \over n} + 1 \, = \, 1 \, + \, {1 \over n} \, \) på \( \,y\)-axeln:

\( \qquad 1\!+\!1, \quad 1\!+\!{1 \over 2}, \quad 1\!+\!{1 \over 3}, \quad 1\!+\!{1 \over 4}, \, \ldots \)

Punkterna \( \, P_n = (x_n, \; y_n) = \left({1 \over n}, \; 1 + {1 \over n}\right) \, \) går mot

tangeringspunkten \( \, (0, 1) \, \) när \( \, n \to \infty \).

Punktföljden \( \, P_n \, \) ger upphov till en följd av exponen-

tialfunktioner \( \, y_n = b_n\,^{x_n} \, \) med vissa baser \( \, b_n \), där:

\( \qquad\qquad b_n \to \, b \quad\; {\rm när} \quad\; n \to \infty \)

och \( \, b \, \) är den efterfrågade basen till \( \, y = b\,^x \, \).

Vi sätter in punktföljdernas allmänna termer \( \, x_n = {1 \over n} \)

och \( \, y_n = 1 + {1 \over n} \, \) i funktionerna \( \, y_n = b_n\,^{x_n}\,\):

\[\begin{array}{rcll} y_n & = & b_n\,^{x_n} \\ \;\; 1 + {1 \over n} & = & b_n\,^{1 \over n} \qquad & | \quad (\,\cdot\,)\,^n \end{array}\]

\[ \!\boxed{\;\left(1 + {1 \over n}\right)^n \, = \;\; b_n\;} \]

Nu tar vi \( \, \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \) på båda leden för att få Eulers formel:

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \, = \, \lim_{n \to \infty} {b_n} \, = \, b \, \) som visar sig vara samma tal vars värde vi numeriskt hade fått fram i Hur kom(mer) talet \( \, e \,\) till? :

\( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \)	\( {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots \)	\( {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots \)	\( {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots \)	\( {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \)	\( \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad \)
\( n \)	\( 1\,000 \)	\( 1000\,000 \)	\( 1000\,000\,000 \)	\( 10\,000\,000\,000 \)	\( \to \infty \)

Detta demonstrerar att \( \; \displaystyle \lim_{n \to \infty} {\left(1 + {1 \over n}\right)^n} \, = \, e \; \) dvs den efterfrågade basen \( \, b \, \) är just Eulers tal \( \, e \, \).

Den inledande frågan i Ny bevisidé kan nu besvaras:

Kan bland exponentialfunktionerna \( \; y = b\,^x \; \) basen \( \, b \, \) väljas så att derivatan blir samma som funktionen: \( \; y\,' = b\,^x \) ?

Svar:

Ja, det är basen \( \, {\color{Red} {e = }}\) Eulers tal som gör att derivatan av \( \; y = e\,^x \) blir samma som funktionen: \( \; {\color{Red} {y\,' = e\,^x}}\) .

Därför gäller Deriveringsregeln för \( \, y \,= \,e\,^x \, \) som ställdes upp inledningsvis. Men:

Hur blir det när konstanter är inblandade?

Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)

Regel:

\[ \begin{array}{ll} {\rm Derivatan\;av} & y \;\, = \; C\;e\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; C,\,k = {\rm const.} \\ {\rm är} & y\,' = \; C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \end{array}\]

Om \( \, C \, \), se Derivatan av en funktion med en konstant faktor.

Om \( \, k \, \), se Kedjeregeln i kursen Matematik 4.

\( \quad \)

Exempel 1

För funktionen \( \;\, f(x) \; = \; 2\,e\,^{-\,x} \; \) blir derivatan:

\[ \;\, f\,'(x) \; = \; 2 \cdot (-1) \cdot e\,^{-\,x} \; = \; -2\,e\,^{-\,x} \]

Exempel 2

För funktionen \( f(x) \; = \; -4\,e\,^{-3\,x} \; \) blir derivatan:

\[ f\,'(x) \; = \; (-4) \cdot (-3) \cdot e\,^{-3\,x} \; = \; 12\,e\,^{-3\,x} \]

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för \( \, y = e\,^x \, \) går vi nu över till den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \) med godtycklig bas \( a > 0\, \):

Deriveringsregeln för \( \, y = a\,^x \)

\[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & a\,^x \;\; {\rm där} \;\; a = {\rm godtycklig\;konstant} \, > \,0 \\ {\rm då} & y\,' & = & a\,^x \, \cdot \, \ln a \end{array}\]

Specialfallet \( \, a = e \, \) och \( \ln a = \ln e = 1 \, \) ger derveringsregeln \( \,y\,' = e^x \, \) för exponentialfunktionen med basen \( \, e \).

Bevis

Vi börjar med att skriva om basen \( \, a \, \) till \( \,e\,^{\ln a} \, \), vilket är möjligt pga inversegenskapen. Då blir det:

\[\begin{array}{rcll} y & = & a\,^x \qquad & : \quad a \, = \,e\,^{\ln a} {\rm \;enligt\;inversegenskapen} \\ y & = & \left(e\,^{\ln a}\right)^x \qquad & : \quad {\rm 3:e\;potenslagen\;på\;HL} \\ y & = & e\,^{(\ln a) \, \cdot \, x} \qquad & : \quad \ln a \, = \, k \\ y & = & e\,^{k \, \cdot \, x} \qquad & | \quad {\rm Derivera\;enligt\;regeln\;ovan} \\ y\,' & = & k \, \cdot \, e\,^{k\,x} \qquad & : \quad k \, = \, \ln a \\ y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, e\,^{(\ln a)\,x} \qquad & : \quad {\rm 3:e\;potenslagen\;på\;HL} \\ y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, \left(e\,^{\ln a}\right)^x \qquad & : \quad e\,^{\ln a} \, = a\, {\rm \;enligt\;inversegenskapen} \\ y\,' & = & (\ln a) \, \cdot \, a^x \\ y\,' & = & a^x \, \cdot \, \ln a \end{array}\]

Ganska liknande basen \( \, e \, \) blir det när konstanter är inblandade i den allmänna exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \, \):

Deriveringsregeln för \( y = C\,a\,^{k\,x} \)

Derivatan av exponentialfunktionen \( y = C\,a\,^{k\,x} \) med godtycklig bas \( \, a > 0 \) och \( C,\,k = {\rm const.} \)

\[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & C\,a\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\ {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \end{array}\]

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt.

I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( a\; x \)	\( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \)	\( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( C\cdot e\,^{k\,x} \)	\( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( C\cdot a\,^{k\,x} \)	\( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna.

Denna tabell kommer att kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss ytterligare deriveringsregler: regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. Produkt- resp. Kvotregeln samt deriveringsregeln för sammansatta funktioner, den s.k. Kedjeregeln.