2.4 Lösning 7
Tangenten är en rät linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:
- \[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]
Tangenten till kurvan \( y = f(x) = x^2 + 5\,x - 1\, \) i \( x = -1 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i \( x = -1 \) är \( f\,'(-1) \) :
- \[ k \, = \, f\,'(-1) \]
För att få fram \( k\, \) bildar vi derivatan \( f\,'(x) \) och beräknar \( f\,'(-1) \) :
\[ f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, \]
\[ f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 \]
\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]
Således är \( k = 3\, \) och tangentens ekvation blir:
- \[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]
För att få fram \( m\, \) beräknar vi först beröringspunktens koordinater:
- \[ x = -1 \]
- \[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]
Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]
