Visa källkod för 2.3 Fördjupning till Gränsvärde

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Dessa övningar ingår inte i demon.|Övningar]]}}
{{Selected tab|[[2.3 Fördjupning till Gränsvärde|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}

<!-- [[Media: Lektion_14_Gransvarde_Rutac.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 14 Gränsvärde</span></b>]] -->

<big>
Vi förutsätter att alla funktioner <math> \, y = f(x) \, </math> i detta avsnitt är [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerliga</span></b>]] i sina resp. definitionsområden.

=== <b><span style="color:#931136">Gränsvärde för en funktion</span></b> ===
<div class="exempel">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====

Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given.
<table>
<tr>
  <td><math> \quad </math>[[Image: Ex 1 Gransvarde.jpg]]</td>
<td><math> \quad </math></td>
  <td><b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to \infty \; </math>?</span></b>
<br>
<div class="border-divblue8"><small><b><span style="color:red">Gränsvärdet</span></b>&nbsp; för <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, </math>,&nbsp; då <math> \,x \, </math> går mot <math> \, \infty \; </math>,&nbsp;  <b><span style="color:red">är <math> \, 0</math></span></b> &nbsp;<span style="color:black">:</span>


<math> \quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}} </math>
</small></div>

'''Grafiskt''':&nbsp; Kurvan närmar sig <math> \, x </math>-axeln när <math> \, x \, </math> växer, dvs <math> \, y\, </math> blir allt mindre ju större <math> \, x \, </math> blir.

Men kurvan skär aldrig <math> \, x </math>-axeln. Funktionen går mot <math> \, 0\, </math> utan att nå <math> \, 0 </math>. 
</td>
</tr>
</table>
'''Analytiskt''':&nbsp; Ekvationen <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \, </math> saknar lösning, därför att täljaren <math> \, 10\, </math> är en konstant som aldrig kan bli <math> \, 0 </math>. Så kan inte heller <math> \, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, </math> bli <math> \, 0 \, </math>, oavsett <math> \, x </math>. Nämnaren växer däremot obegränsat när <math> \, x \, </math> växer. Konstant delad med  obegränsat växande värden går mot <math> \, 0 \, </math>. Man skriver<span style="color:black">:</span>

<math> \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\; </math>, bättre uttryckt<span style="color:black">:</span> <math> \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \, </math>. Av samma anledning är<span style="color:black">:</span> <math> \, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{1 \over x} \, = \, 0} \, </math>.

<b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to - \infty \; </math>?</span></b>

Något liknande visas när <math> \, x \, </math> går mot negativa värden, dvs när <math> x \to \, {\color{Red} {- \infty}} </math>: &nbsp; <math> \,y\, </math> mot <math> \,0\, </math> bara att <math> \, y\, </math> nu närmar sig <math> \, 0 \, </math> nedifrån, kort<span style="color:black">:</span> <math> \;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \; </math>. 
</div>

"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig <math> \, 0 \, </math> utan att någonsin bli <math> \, 0 </math>, löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av <b><span style="color:red">limes</span></b> som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin. 


=== <b><span style="color:#931136">Existens av gränsvärden</span></b> ===

I exemplet ovan bestämdes <math> \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, </math> utan att fråga om gränsvärdet överhuvudtaget ''existerade''. Att gränsvärdet sedan blev <math> \, 0 \, </math> bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde ''inte'' existerar och därför inte heller kan bestämmas. Det vore bra om man kunde undersöka det innan man började räkna.

Som exempel tar vi samma funktion som ovan, men betraktar dess beteende för <math> \; \color{Red} {x \to 2} \; </math>.  

<div class="exempel">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på att gränsvärde saknas</span></b> ====

Funktionen <math> y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} </math> är given<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad </math> <b><span style="color:red">Vad händer med <math> \, y \, </math> när <math> \; x \to 2 \; </math>?</span></b>
<table>
<tr>
  <td>Bestäm <math> \quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} </math>

'''Svar:''' <math> \quad\;\; f(x)\, </math> är inte definierad för <math> x = 2\, </math>.

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow </math>

<div class="border-divblue"><math> \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad </math> <b>existerar inte</b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span style="color:black">:</span> 


<math> \qquad </math> <b><span style="color:red">Gränsvärde saknas.</span></b>
</div>
</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td>[[Image: Ex 2 Gransvarde.jpg]]</td>
</tr>
</table>

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten <math> \, x = 2 </math>.

Algebraiskt är <math> \, f(x)\, </math> inte definierad för <math> x = 2\, </math>, för <math> \displaystyle{10 \over x\,-\,2} </math>:s nämnare blir <math> \, 0\, </math> för <math> \, x = 2 </math>. 

Dessutom finns det två olika resultat beroende på om <math> \, x </math> går mot <math> \, 2 </math> från höger eller från vänster<span style="color:black">:</span> 

<math> f(x)\, </math> går mot <math> +\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från höger och mot <math> -\, \infty </math> när man närmar sig <math> \, x = 2 </math> från vänster.

<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ </math>

<math> y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- </math>

där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>).
</div>


Följande modifierad variant av [[2.3_Gränsvärde#Exempel_2|<b><span style="color:blue">Exempel 2</span></b>]] (<math> \, {\color{Red} {x \to 0}} \, </math> istället för <math> \, x \to \infty </math>) är ytterligare ett exempel på att gränsvärdet saknas:
</big>


<div class="ovnE">

==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 a</span></b> ====

Bestäm <math> \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} </math>

<b>Lösning:</b>

::<math> \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty </math>

::<math> \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty </math>

där <math> x \to 0^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och <math> x \to 0^- </math> att närma sig <math> \, x = 0 </math> från vänster (<math> \, x < 0 </math>).

<b>Anmärkning:</b> Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i [[2.3_Fördjupning_till_Gränsvärde#Ensidiga_och_oegentliga_gr.C3.A4nsv.C3.A4rden|<b><span style="color:blue">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b>]].

<b>Svar:</b> <math> \qquad\;\; </math> Gränsvärde saknas.
</div>


<big>
Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot <math> +\,\infty </math>, för ett visst <math> \, x </math> både från höger och vänster, t.ex. <math> \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} </math> för <math> \, x = 0 </math>, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är <math> +\,\infty </math>, därför att <math> \infty </math> inte är något värde. Med andra ord:  


<div class="border-divblue">Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.</div>


Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> och <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;</math> existerar inte. 
</big>


<div class="ovnA">
=== <b><span style="color:#931136">Ensidiga och oegentliga gränsvärden</span></b> ===

Skiljer man närmandet från höger till <math> \, x = 2 \, </math> från närmandet från vänster kan man bilda s.k. <b><span style="color:red">ensidiga gränsvärden</span></b>:

:::<math> \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty </math>

där <math> x \to 2^+ </math> betyder att närma sig <math> \, x = 2 </math> från höger (<math> \, x > 2 </math>) och <math> x \to 2^- </math> att närma sig <math> \, x = 2 </math> från vänster (<math> \, x < 2 </math>). 

Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet <math> \, 2 </math> på <math> \, x</math>-axeln: från höger <math> x \to 2^+ </math> och från vänster <math> x \to 2^- </math>, därav beteckningen <b><span style="color:red">ensidig</span></b>. I vårt exempel ger de också två olika resultat. 

Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man <b><span style="color:red">oegentliga gränsvärden</span></b>.

<div class="exempel">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ====
<table>
<tr>
  <td>

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty </math> 


Grafen visar att funktionen <math> \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} </math> går mot <math> +\,\infty </math> både

när <math> \, x \to 0 </math> från höger (<math> \, x > 0 </math>) och från vänster (<math> \, x < 0 </math>). Visserligen 

är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför <b><span style="color:red">oegentligt</span></b>.  


Däremot är <math> \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} </math> varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.
</td>
  <td><math> \qquad </math></td>
  <td>[[Image: y = 1 genom x^2.jpg]]</td>
</tr>
</table> 

Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.

OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande <b><span style="color:red">inte</span></b> att <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; </math> eller <math> \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \; </math> <b><span style="color:red">existerar</span></b>.
</div>


</div>


=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0










[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.