Visa källkod för 2.2 Genomsnittlig förändringshastighet

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<!-- [[Media: Lektion_13_Genomsnittlig_forandringshastigheta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet</span></b>]] -->
<big>
=== <b><span style="color:#931136">Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet</span></b> ===
<div class="ovnE"> 
<small>
<div class="exempel">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ====
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.

I [https://www.skatteverket.se/download/18.3152d9ac158968eb8fd2129/manadslon_tabell35.pdf <b><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></b>] för 2017 hittar vi <math> \, 5\;579 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;955 \, </math> kr skatt för den nya lönen.

Beräkna <b><span style="color:#931136">marginalskatten</span></b> som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

'''Lösning:''' <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Skatten som en [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">diskret funktion</span></b>]] av lönen:
<table>
<tr>
  <td>
::{| class="wikitable"
|-
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math> 
|-
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,579</math> 
|-
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,955 </math>
|}


<math> \quad\;\; x \, = \,  </math> Månadslönen i kr.

<math> \quad\;\; y \, = \,  </math> Skatten i kr.
</td>
  <td><math> \quad </math></td>
  <td>[[Image: Diskret loneSkattfkt_235.png]]</td>
</tr>
</table>

Skattefunktionens <b><span style="color:red">lutning</span></b>, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b>:

:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313}  \; = \; 31,3 \, \%</math>

I intervallet <math> \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, </math> har funktionen <math> \, y \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \; \color{Red} {0,313} </math>.

Dvs <math> \, y \, </math> växer i detta intervall med <math> \color{Red} {0,313} \; y</math>-enheter per <math> x</math>-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

'''Matematisk tolkning''':&nbsp; Marginalskatten <math> = </math> Skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> när skatten anses som en <b><span style="color:red">funktion</span></b> av lönen.

'''Ekonomisk tolkning''':&nbsp; Marginalskatten är <math> \, 31,3 \, \% </math>, dvs Martin måste betala <math> \, 31,3\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
</div> <!-- exempel1 -->


Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

<div class="exempel">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b> ====
<table>
<tr>
  <td>'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math>

:::Intervallet <math> \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math> 

'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.

'''Lösning'''<span style="color:black">:</span>
::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 </math>

I intervallet <math> \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, </math> har funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \, \color{Red} 2 </math>.

Dvs funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> \, \color{Red} 2 \; y</math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet.

</td>
  <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
</tr>
</table>

'''Geometrisk tolkning''': &nbsp;&nbsp; Om kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 \, </math> ersätts av en <b><span style="color:red">rät linje</span></b>, kallad <b><span style="color:red">sekant</span></b>, har denna linje lutningen <math> \, \color{Red} 2 </math>.

:::::::Sekantens <b><span style="color:red">lutning</span></b> är kurvans <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>. 
</div> <!-- exempel2 -->
</small>


</div> <!-- "ovnE" -->

Generellt gäller:

<div class="border-divblue">
En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den <b><span style="color:red">räta linjen (sekanten)</span></b> <br> som ersätter funktionen i intervallet.
</div> 


<div class="ovnC">


<small>
<div class="exempel">
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank</span></b> ====
<table>
<tr>
  <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym<span style="color:black">:</span>

:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>

:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>

'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans <b><span style="color:red">genomsnittliga utströmningshastighet</span></b>

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
</td>
  <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
</tr>
</table>
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math>.

'''Lösning:'''

'''a)'''&nbsp;&nbsp;Se grafen ovan.

'''b)'''&nbsp;&nbsp;Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. <math> \, 45 \, </math> minuter.

:Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>

::::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>

:[[Grafritning och ekvationslösning med räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></b>]] visar att <math> \, x = 45\, </math> är även den exakta lösningen.

:Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} </math>

:I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet<span style="color:black">:</span>

:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} </math>

:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut.


'''c)'''&nbsp;&nbsp;Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math><span style="color:black">:</span>

:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>

:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>

:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} </math>

:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut.
</div> <!-- exempel3 -->
</small>


</div> <!-- "ovnC" -->


=== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ===
'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.

:::Något intervall på <math> \, x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> och <math> \, x_1 \neq x_2 </math>.

'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.

'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan.

'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''': 

Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.

Denna variant som används vid [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd:

::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
                  x_1 + h & = x_2                                \\
          \end{align}</math>

Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>, får vi den allmänna definitionen:

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s &nbsp; <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> &nbsp; i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b>

::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>

Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b>
</div>

Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.


=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
</big>










[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.