1.7.1 Grundpotensform

<<  Förra demoavsnitt

Potenser

Grundpotensform

Övningar

Diagnosprov kap 1

För att förenkla skrivandet av stora och små tal används grundpotensform (eng. scientific notation) som är ett sätt att skriva tal med hjälp av \(10\)-potenser.

Grundpotensform visas i räknarens display (beroende på modellen) t.ex. så här:

Mera utförligt:

\( 5,26 \, {\text E} \, {\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot 10\,^{\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^3} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 1000} \, = \, 5,26 \cdot 0,001 \, = \, 0,00526} \)

Definition:

\( a \cdot 10\,^n \; \) kallas grundpotensform om \( n \, \) är heltal och \( \; 1 \leq \) \( a \) \( < 10 \; \).

Dvs \( \, a \, \) måste vara mellan \( \, 1,\ldots \, \) och \( \, 9,\ldots \; \).

OBS!    Inte alla uttryck med en \( \, 10\)-potens är grundpotensformer. Talet \( \, a \, \) som står framför \( \, 10\)-potensen måste vara \( \, < 10 \, \).

Villkoret \( \quad\ 1 \leq a < 10 \quad \) i definitionen gör att alla tal endast på ett sätt kan skrivas i grundpotensform.

I praktiken används grundpotensformen för att kunna skriva stora och små tal, utan att behöva skriva så många nollor.

Exempel på stora och små tal i grundpotensform

Stora tal: \( \qquad 8\,250\,000\,000\,000\,000 \; = \; 8,25 \, \cdot \, 10\,^{15} \)

Små tal: \( \qquad\; 0,000\,000\,000\,000\,16 \;\; = \;\; 1,6 \, \cdot \, 10\,^{-13} \)

Läs exemplen ovan från höger för att förstå hur man skriver grundpotensform till vanligt tal:

Att multiplicera \( \, 8,25 \, \) med \( \, 10\,^{15} \, \) innebär att flytta \( \, 8,25\):s decimalkomma \( \, 15 \, \)positioner till höger.

Att multiplicera \( \, 1,6 \, \) med \( \, 10\,^{-13} \, \) innebär att flytta \( \, 1,6\):s decimalkomma \( \, 13 \, \)positioner till vänster.

Omvänt, hur man skriver vanliga tal i grundpotensform, förklaras i Exempel 3 och 4 längre fram.

Exempel 1

Skriv grundpotensformen \( \; 6,28 \cdot 10\,^6 \; \) till vanligt tal.

Lösning: \( \qquad \)Att multiplicera \( \, 6,28 \, \) med \( \, 10\,^6 \, \) innebär att multiplicera \( \, 6,28 \, \) med \( \, 1\,000\,000 \, \) och därmed att flytta \( \, 6,28\):s decimalkomma \( \, 6 \, \) positioner till höger:

\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; 6,28 \cdot 10\,^6 \, = \, 6,28 \cdot 1\,000\,000 \, = \, \underline{6\,280\,000} \]

Exempel 2

Skriv grundpotensformen \( \; 3 \cdot 10\,^{-4} \; \) till vanligt tal.

Lösning: \( \qquad \)Att multiplicera \( \, 3 \, \) med \( \, 10\,^{-4} \, \) innebär att multiplicera \( \, 3 \, \) med \( \, 0,000\,1 \, \) och därmed att flytta \( \, 3\):s decimalkomma \( \, 4 \, \) positioner till vänster.

  Decimalkommats aktuella position är \( \, 3,0 \, \). Flyttning \( \, 4 \, \) positioner till vänster ger \( \, 0,000\,3 \, \):

\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; 3 \cdot 10\,^{-4} \, = \, 3 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^4} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10\,000} \, = \, 3 \cdot 0,000\,1 \, = \, \underline{0,000\,3}} \]

Exempel 3

Skriv \( \; 11\,000 \; \) i grundpotensform.

Lösning: \( \qquad 11\,000 \, = \, 11 \cdot 1\,000 \, = \, 11 \cdot 10\,^3 \, = \, 11 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^3 \, = \, (11 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^3) \, = \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \)

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\qquad\quad\; Vanligt\,fel:}}} \quad\;\; 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm som\;svar.} \]

\( \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Därför\;att} \qquad 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm inte\;är\;någon\;grundpotensform:} \quad 11 > 10 \quad , \) se definitionen:

\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Villkoret} \quad 1 \leq a < 10 \quad {\rm är\;inte\;uppfyllt\;} \quad \Longrightarrow \quad 11 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}\]

Visserligen är \( \, 11 \cdot 10\,^3 \, \) ett uttryck med en \( \, 10\)-potens, men ingen grundpotensform. Endast \( \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \, \) är grundpotensformen till \( \, 11\,000 \).

Exempel 4

Skriv \( \; 0,000\,39 \; \) i grundpotensform.

Lösning: \( \qquad 0,000\,39 \; {\rm har} \; 5 \; {\rm decimaler} \quad \Longrightarrow \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \)

\[ \; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret\;} \; 1 \leq a < 10 \quad \Longrightarrow \quad 39 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}\]

\[ \; {\rm Därför:} \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, = \, 39 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^{-5} \, = \, (39 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^{-5}) \, = \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \]

Samma sak här: \( \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, \) är ett uttryck med en \( \, 10\)-potens, men ingen grundpotensform. Endast \( \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \, \) är grundpotensformen till \( \; 0,000\,39 \).

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=G8EqeYUXZOk

http://www.maspa.se/MATEMATIK/Matte4/Aritmetik/Naturliga%20Tal/Reknelagar/1asja.html

https://www.youtube.com/watch?v=Dme-G4rc6NI

Copyright © 2010-2019 TechPages Förlag AB. All Rights Reserved.