1.5a Ledning 11

Visa först med den explicita formeln:

\[ F(1) = 1 \quad\text{och }\quad F(2) = 1 \]

För den allmänna behandlingen med \( n\, \) inför några förkortande beteckningar för uttryck som förekommer ofta:

\[ c_1 = {1\over\sqrt{5}} \qquad\qquad\qquad c_2 = -\,{1\over\sqrt{5}} \]

\[ r_1 = \] \( {1\,+\,\sqrt{5}\over 2} \quad\quad {\color{White} x} \) \( r_2 = \) \( {1\,-\,\sqrt{5}\over 2} \)

Då får den explicita formeln följande lite enklare form:

\[ F(n) \, = \, c_1\:r_1\,^n\;+\;c_2\:r_2\,^n \]

Bilda med denna form \( F(n-1) \, \) och \( F(n-2) \, \) och visa Fibonaccis rekursionsformel:

\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2)\, \]

För att slutföra beviset borde du återställa de inledningsvis förkortade uttrycken dvs sätta tillbaka dem istället för sina resp. förkortningar \( c_1, c_2, r_1\, \) och \( r_2\, \).