Visa källkod för 1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom| <<&nbsp;&nbsp;Förra demoavsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Dessa övningar ingår inte i demon.|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
<!-- {{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|Nästa demoavsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}} -->
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}

<!-- [[Media: Lektion 9 Talet e Ruta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 9 Talet <math>\,e</math> och den naturliga logaritmen</span></b>]] -->

== <b><span style="color:#931136">Talet &nbsp;<big><math> e \,</math></big></span></b> ==

<div class="ovnE">
<big><b><span style="color:#931136">Experiment 1</span></b></big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen)<span style="color:black"></span> <big><math> \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; </math></big>
# Tryck på den, mata in <math> \, 1 \, </math> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> <span style="color:black">''^''</span> <math>(1) \; </math> i räknarens display.

Du har beräknat <big><math> \; e{\,^1} \; </math></big> eller <b><span style="color:blue">talet</span></b> <big><math> \, \color{blue} e \,</math></big>, dvs <math> \qquad 2,718281828\ldots \quad </math>,

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad [http://sv.wikipedia.org/wiki/E_(tal) <b><span style="color:blue">Eulers tal</span></b>].
</div>


<big>
Talet [http://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html <big><math> \, \color{blue} e \, </math></big>] är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler <b><span style="color:blue">Leonard Euler</span></b>] som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att <big><math> \, e \, </math></big> inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">olika typer av tal</span></b>]].

Talet <big><math> \, e \, </math></big> är ett <b><span style="color:red">irrationellt tal</span></b>, precis som talen <math> \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, </math>, som inte kan skrivas i bråkform. 

Irrationella tal är decimaltal som har en [[1.3_Decimaltal#Icke-periodisk_decimalutveckling|<b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]] dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).  

Här kan man beskåda de första <b><span style="color:blue">5 miljoner decimaler av talet</span></b> [http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil <b><span style="color:blue"><big><math> \, e \, </math></big></span></b>]. Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

<div class="border-divblue">
&nbsp; <b><span style="color:#931136">OBS!</span></b> <math> \quad e \; </math> <small> är ingen variabel utan en s.k. <b><span style="color:red">namngiven konstant</span></b> som har värdet <math> \, 2,718281828\ldots \, </math>.</small></div>

Talet <big><math> \, e \, </math></big> förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet <math> 1\, </math>, de irrationella talen <big><math> e,\;\pi </math></big> och den imaginära enheten <math> \, i = \sqrt{-1} </math>, där även <big><math> \pi </math></big> och <big><math> \, i \, </math></big> är namngivna konstanter<span style="color:black">:</span>

::::::::::::::<big><big><math> e^{\,2\,\pi\,i} </math></big> <math> = 1 </math></big>

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet <big><math> \, e \, </math></big> inom den [http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys <b><span style="color:blue">matematiska analysen</span></b>], den delen av matematiken som behandlar [[2.3_Gränsvärde|<b><span style="color:blue">gränsvärden</span></b>]], [[Matte_3_Kapitel_2_Derivata|<b><span style="color:blue">derivator</span></b>]], [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">integraler</span></b>]] och differentialekvationer.
</big>


<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Hur kom(mer) talet <big><math> e \,</math></big> till?</span></b> ==
<big>

<b><span style="color:red">Eulers formel</span></b> kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet <b><span style="color:blue"><big><math> e \,</math></big></span></b>: 
<!-- som kommer att bevisas [[2.6_Derivatan_av_exponentialfunktioner#Eulers_bevis|<b><span style="color:blue">senare</span></b>]], -->
::::<big><math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e </math></big> <math> \quad {\rm när} \quad n \to \infty </math>

Dvs: Uttrycket ovan går mot <big><math> e \,</math></big> när <math> n\, </math> går mot oändligheten (<math> \infty </math>) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer <big><math> \, e \,</math></big> ju större <math> \, n\, </math> blir. Tabellen tar några steg i denna process:

<div class="border-divblue">
{| class="wikitable"
|-
| align=center|<math> n </math> || align=center|<math> 1\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000 </math> || align=center|<math> 1000\,000\,000 </math> || align=center|<math> 10\,000\,000\,000 </math> || align=center|<math> \to \infty </math>
|-
!  align=center| <math> \left(1 + {1 \over n}\right)^n </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots </math> || <math> {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots </math> || align=center|<math> {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math> || align=center|<math> \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad </math>
|}
</div>

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in <big><math> e^{\,1} \, </math></big>.

<b><span style="color:red">Eulers formel</span></b> ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen <math> \, n \, </math> närma oss det irrationella talet <big><math> \, e \, </math></big> (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet <big><math> e \,</math></big> nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

:::::::::<big><math> e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} </math></big>
</big></div>


== <b><span style="color:#931136">Exponentialfunktionen med basen <big><math> e \,</math></big></span></b> ==

<big>
Tar man talet <big><math> {\color{Red} e} </math></big> som bas och bildar potensen <big><math> {\color{Red} {e{\,^x}}} </math></big> får man den s.k. <b><span style="color:red">exponentialfunktionen</span></b> <big><math> {\color{Red} {y = e{\,^x}}} </math></big> <b><span style="color:red">med basen</span></b> <big><math> {\color{Red} e} \, </math></big> som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:


<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; e\,^x </math></big></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med grafen:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: exp.jpg]]

::::::::::::::<b><span style="color:red">Exponentialfunktionen med basen <big><math> \; {\color{Red} e} </math></big></span></b>
</big>

<div class="ovnC">
==== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ====

<div class="exempel">
# Exponentialfunktionen är alltid <b>positiv</b><span style="color:black">:</span> <math> \, e\,^x \, > \, 0 \, </math> för alla <math> \, x </math>. Den blir aldrig <math> 0\, </math> eller negativ. Definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <b> alla </b> <math> x </math>.
# <math> e\,^0 = 1 </math> vilket följer av potenslagen om nollte potens.
# För negativa <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x < 1 </math>. För positiva <math> \, x \, </math> är <math> \, e\,^x > 1 </math> och växer allt starkare ju större <math> \, x \, </math> blir.
# Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.
</div>

<b><span style="color:#931136">Exponentiell tillväxt</span></b> modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} >} \, 0 </math>.

<b><span style="color:#931136">Exponentiell minskning</span></b> modelleras med exponentialfunktioner av typ <math> \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, </math> med <math> \, k \, {\color{Red} <} \, 0 </math>.
</div>


<big>
Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen <math> \, y = x^2 \, </math> som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till <math> \, y = x^2 \, </math> och <math> \, y = e\,^x \, </math> i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Exponentialfunktioner</span></b>]] hade vi pratat om exponentialfunktion'''er''' (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. <math> y = 2\,^x </math> eller <math> y = 3\,^x,\;\cdots </math>.

När man däremot pratar om '''den''' exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen <big><math> \, e\,</math></big> <math>-</math> som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner. 
</big>


== <b><span style="color:#931136">Den naturliga logaritmen</span></b> ==
<div class="ovnC">
<big><b><span style="color:#931136">Experiment 2</span></b></big> <math> \qquad </math> Ta fram din miniräknare och gör så här:

# Tryck på funktionsknappen <math> \, \boxed{e^{\,x}} </math> och mata in<span style="color:black"></span> <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> och stäng parentesen.
# Tryck på ENTER när det står <big><math> \, e </math></big> <span style="color:black">''^''</span> <math>(2) \; </math> i displayen. Låt resultatet <math> \, e^{\,2} \, </math> (något decimaltal) stå i displayen. 
# Tryck på funktionsknappen<span style="color:black"></span> <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math>.
# Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall <math> \, e^{\,2} </math>.
# Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka <big><math> \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad </math></big> som du hade matat in i början. 

Du har beräknat <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math> som ger <math> \, 2 \, </math>, dvs: <big><math> \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 </math></big>

Genomför ett liknande experiment som visar: <big><math> \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, </math></big>
</div>

<big>I räknaren står <math> \boxed{\rm{LN}} </math> för <big>L</big><b><span style="color:red">ogaritmus</span></b> <big>N</big><b><span style="color:red">aturalis</span></b>, den naturliga logaritmen, medan <math> \boxed{\rm{LOG}} </math> står för [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue"><math> \, 10</math>-logaritmer</span></b>]].

När man skriver står <b><span style="color:red"><math>\ln</math></span></b> för <b><span style="color:red">l</span>ogaritmus</b> <b><span style="color:red">n</span>aturalis</b> och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet <big><math> \, e \, </math></big> bildar basen till <b><span style="color:red"><math>\ln</math></span></b>.
</big>

<div class="ovnE">
<big>
<b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b>

<math>\ln 3 \, </math> = <b><span style="color:red">Exponent</span></b> som basen <math> \, e \, </math> ska upphöjas till, för att ge <math> \, 3 \, </math><span style="color:black">:</span>

<math> \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 </math>

----

I räknaren<span style="color:black">:</span> <small><math> \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}</math></small> <math>(3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} </math>
</big></div>

<big>
Generellt:

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Definition:</span></b>

<math>\ln a \, </math> = <b><span style="color:red">Exponenten</span></b> <big><math> \color{Red} x </math></big> som basen <big><math> \, e \, </math></big> ska upphöjas till, för att ge <math> \, a \, </math><span style="color:black">:</span>

<math> \qquad\qquad\quad </math>  <big><math> e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a </math></big>
</div>


Exponentialfunktionen <math> \, y = e\,^x \, </math> ger upphov till den <b><span style="color:red">naturliga logaritmfunktionen</span></b> <math> \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, </math>: 

<div class="border-div"> <big><big><math> y \; = \; \ln\, x </math></big></big> </div> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; med grafen:  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: ln.jpg]]

:::::::::::::::<b><span style="color:red">Den naturliga logaritmfunktionen</span></b>
</big>

<div class="ovnC">
==== <b><span style="color:#931136">Egenskaper</span></b> ====

<div class="exempel">
# Logaritmen är definierad endast för <b>positiva <math> \, x\, </math></b>. Definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \, x > 0 </math>.
# <math> \ln\,1 = 0 \, </math> vilket är logaritmformen till <math> \, e\,^0 = 1 </math>, se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
# För <math> x < 1\, </math> är logaritmen negativ och för <math> x > 1\, </math> är den positiv.
# Logaritmen växer allt svagare ju större <math> \, x\, </math> är.
</div>

&nbsp; <b><span style="color:red">OBS! &nbsp; Logaritmen är för <math> \, x=0 \, </math> inte alls och för <math> \, x<0 \, </math> inte definierad inom de reella talen.</span></b>
</div>


<big>För <math> \, x < 0 \, </math> har <math> \, y \, = \, \ln x \, </math> komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.</big>


== <b><span style="color:#931136">Inversegenskapen</span></b> ==

<big>
<b><span style="color:#931136">Experiment 2</span></b> visar ett exempel på att <math> \, \boxed{\rm{LN}} \, </math> är den inversa operationen till <math> \, \boxed{e\,^x} \, </math>.

Generellt:
<div class="border-divblue">
Den naturliga logaritmen <math> \, y \, = \, \ln\,x \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa</span></b> (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen <math> \, y \, = \, e\,^x \, </math><span style="color:black">:</span>

:::<math> \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} </math>
</div></big>


:::::::::::[[Image: InvEgenskap_Farg.jpg]]


<big>
Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först <math> e^{\,x} </math> och sedan <math> \ln\,x </math> eller tvärt om, resultatet blir alltid <math> \,x </math>.

Dvs man återvänder till det värde <math> \,x </math> man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför <math> e^{\,x} </math> och <math> \ln\,x </math> direkt efter varandra.

Både <math> \ln\,(e^{\,x}) </math> och <math> e^{\,\ln\,x} </math> är exempel på s.k. <b><span style="color:red">sammansatta funktioner</span></b>. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas <b><span style="color:red">inifrån</span></b>: [[1.4_Talet_e_och_den_naturliga_logaritmen#Experiment_2|<b><span style="color:blue">Experiment 2</span></b>]] var ett exempel på detta. För att få <math> \, \ln\,(e^{\,2}) \, </math>, beräknades först <math> \, e^{\,2} </math> och sedan <math> \, \ln\,(e^{\,2}) </math>.
</big>


== <b><span style="color:#931136">Exponentialekvationen av typ <math> \; e\,^x \, = \, b </math></span></b> ==

<big>
Precis som [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">exponentialekvationen <math> \, 10\,^x \, = \, b \; </math></span></b>]] löstes med den inversa operationen till <math> \, 10\,^x </math>, nämligen <math> \, 10</math>-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till <math> \, e\,^x </math>, nämligen den naturliga logaritmen. 
</big>


<div class="ovnE">
<big><b><span style="color:#931136">Exempel</span></b></big>

<div class="exempel">
<math>\begin{array}{rcll}            e^{\,x} & = & 68                &  {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\
{\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68           &  {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL}   \\
                                           x & = & \ln\,68           &                                            \\
                                           x & = & 4,219507705\ldots &                                            \\
     {\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68                &  
        \end{array}</math>
</div></div>






== Internetlänkar ==

https://www.youtube.com/watch?v=X-z0aw_q7yM

http://www.youtube.com/watch?v=Z3xsdOvjl4E

http://www.youtube.com/watch?v=_FZJiyqIrG4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=7RAWXVoyls4








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.