Visa källkod för 1.1 Övningar till Polynom

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
<!-- {{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}} -->
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|Genomgång]]}}
{{Selected tab|[[1.1 Övningar till Polynom|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: Formelsamling NP Ma3.pdf|Formelsamling Matte 3]]}}
{{Not selected tab|[[1.1 Fördjupning till Polynom|Fördjupning]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e och den naturliga logaritmen|Nästa demoavsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<Big><Big><Big><span style="color:#FFB69C">E-övningar: 1-6</span></Big></Big></Big>


== <b>Övning 1</b> ==
<div class="ovnE">
Två förstagradspolynom är givna:

:::<math> 3\,x - 5 \qquad {\rm och} \qquad - 8\,x - 6 </math>

<table>
<tr>
  <td>Bilda deras 



</td>
  <td><math> \qquad </math> a) &nbsp; summa

<math> \qquad </math> c) &nbsp; produkt
</td>
  <td><math> \qquad </math> b) &nbsp; differens

<math> \qquad </math> d) &nbsp; kvot.
</td>
</tr>
</table>

Förenkla så mycket som möjligt.

Ange varje gång om resultatet är ett polynom. 

I fall att det är polynom ange polynomets grad samt polynomets koefficienter.
{{#NAVCONTENT:Svar 1a|1.2 Svar 1a|Lösning 1a|1.2 Lösning 1a|Svar 1b|1.2 Svar 1b|Lösning 1b|1.2 Lösning 1b|Svar 1c|1.2 Svar 1c|Lösning 1c|1.2 Lösning 1c|Svar 1d|1.2 Svar 1d|Lösning 1d|1.1 Lösning 1d}}</div>


== <b>Övning 2</b> ==
<div class="ovnE">
Gör samma sak som i övning 1 med andragradspolynomen

::<math> 4\,x^2 - 7\,x + 2 \qquad {\rm och} \qquad -4\,x^2 - 5\,x </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 2a|1.2 Svar 2a|Lösning 2a|1.2 Lösning 2a|Svar 2b|1.2 Svar 2b|Lösning 2b|1.2 Lösning 2b|Svar 2c|1.2 Svar 2c|Lösning 2c|1.2 Lösning 2c|Svar 2d|1.2 Svar 2d|Lösning 2d|1.2 Lösning 2d}}</div>


== <b>Övning 3</b> ==
<div class="ovnE">
Följande uttryck är givet:

::<math> P(x) = 4\,x^3 - 2\,x^2\,(2\,x + 6) + 7\,x\,(3 + 2\,x) </math>

a) &nbsp; Utveckla <math> P(x)\, </math> till ett polynom.

b) &nbsp; Använd polynomet från a) för att beräkna <math> P(-1)\, </math>. 

c) &nbsp; Bestäm alla [http://90.224.99.82:8080/minidemo/index.php/1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen_.28r.C3.B6tter.29 nollställen] till <math> P(x)\, </math>. 

{{#NAVCONTENT:Svar 3a|1.2 Svar 3a|Lösning 3a|1.2 Lösning 3a|Svar 3b|1.2 Svar 3b|Lösning 3b|1.2 Lösning 3b|Svar 3c|1.2 Svar 3c|Lösning 3c|1.2 Lösning 3c}}</div>


== <b>Övning 4</b> ==
<div class="ovnE">
Utveckla följande uttryck och ordna termerna så att det blir ett polynom:

a) &nbsp; <math> \displaystyle (x-2)^2 + (x+1)^2 </math>

b) &nbsp; Beräkna värdet av polynomet du fick fram i a) för <math> x = -2\, </math>. 

{{#NAVCONTENT:Svar 4a|1.2 Svar 4a|Lösning 4a|1.2 Lösning 4a|Svar 4b|1.2 Svar 4b|Lösning 4b|1.2 Lösning 4b}}</div>


== <b>Övning 5</b> ==
<div class="ovnE">
En rakets bana beskrivs av polynomfunktionen:

::<math> y = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>

där y är höjden i meter och x tiden i sekunder.

a) &nbsp; Visa att raketen har både efter 2,586 och 15,781 sekunder en höjd på 200 meter över marken.

b) &nbsp; Vilken maximal höjd når raketen? Svara i hela meter.

{{#NAVCONTENT:Svar & lösning 5a|1.2 Lösning 5a|Svar 5b|1.2 Svar 5b|Lösning 5b|1.2 Lösning 5b}}</div>


== <b>Övning 6</b> ==
<div class="ovnE">
Betrakta raketens bana i övning 5. Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

a) &nbsp; Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita raketbanans graf. Ange dem i din räknares WINDOW.

b) &nbsp; Rita raketbanans graf och den räta linjen som åskådliggör höjden 200 m i samma koordinatsystem.

c) &nbsp; När slår raketen i marken? Använd din räknares ekvationslösare. Svara med tre decimaler. 

{{#NAVCONTENT:Svar 6a|1.2 Svar 6a|Lösning 6a|1.1 Lösning 6a|Svar 6b|1.2 Svar 6b|Lösning 6b|1.2 Lösning 6b|Svar 6c|1.2 Svar 6c|Lösning 6c|1.2 Lösning 6c}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 7-10</span></Big></Big></Big>


== <b>Övning 7</b> ==
<div class="ovnC">
Följande två [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Chebyshevpolynom_.5C.28-.5C.29_en_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|<b><span style="color:blue">Chebyshevpolynom</span></b>]] är givna:

::<math> U_3(x) = 8\,x^3\,-\,4\,x </math>

::<math> U_4(x) = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 </math>

Utveckla <math> \displaystyle U_5(x) </math> med hjälp av Chebyshevpolynomens rekursionsformel:

::<math> U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... </math>

Tips: Se [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Chebyshevpolynom_.5C.28-.5C.29_en_familj_av_h.C3.B6gre_grads_polynomfunktioner|<b><span style="color:blue">Exempel på beräkning av Chebyshevpolynom</span></b>]], där <math> \, U_4(x) \, </math> beräknas utgående från <math> \, U_2(x) \, </math> och <math> \, U_3(x) \, </math> med hjälp av rekursionsformeln.

{{#NAVCONTENT:Svar 7|1.2 Svar 7|Lösning 7|1.2 Lösning 7}}</div>


== <b>Övning 8</b> ==
<div class="ovnC">
Ställ upp ett polynom av 4:e grad som har koefficienterna:

::<math> \displaystyle a_4 = 3, \quad a_3 = 2, \quad a_2 = -3, \quad a_1 = -4, \quad a_0 = -3 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 8|1.2 Svar 8|Lösning 8|1.2 Lösning 8}}</div>


== <b>Övning 9</b> ==
<div class="ovnC">
Visa att följande uttryck är identiskt med polynomet från övning 8 ovan:

::<math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 </math>

{{#NAVCONTENT:Lösning 9|1.2 Svar 9}}</div>


== <b>Övning 10</b> ==
<div class="ovnC">
Två polynom är givna: 

::<math> P(x) = 2\,a \cdot x + 3\,a - 4\,b </math> 

::<math> Q(x) = 4 \cdot x - 6 </math>

För vilka värden av <math> a\, </math> och <math> b\, </math> är <math> P(x) = Q(x)\, </math>? Använd jämförelse av koefficienter.

{{#NAVCONTENT:Svar 10|1.2 Svar 10|Lösning 10|1.2 Lösning 10}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 11-12</span></Big></Big></Big>


== <b>Övning 11</b> ==
<div class="ovnA">
Följande 2:a gradspolynom är givet:

::<math> P(x) = x^2 - 10\,x + 16 </math>

a) &nbsp; Utveckla uttrycket <math> Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) </math> till ett polynom. Bestäm <math> a\, </math> och <math> b\, </math> så att <math> P(x) = Q(x)\, </math>. Använd jämförelse av koefficienter.

b) &nbsp; Visa att de värden du får för <math> a\, </math> och <math> b\, </math> i a)-delen är lösningar till 2:a gradsekvationen:

::<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>

{{#NAVCONTENT:Svar 11a|1.2 Svar 11a|Lösning 11a|1.2 Lösning 11a|Svar & lösning 11b|1.2 Lösning 11b}}</div>


== <b>Övning 12</b> ==
<div class="ovnA">
Visa att 2:a gradspolynomet <math> P(x) = 8\,x^2 + 7\,x - 1 </math> kan skrivas som

::<math> (a\,x + b) \cdot (c\,x + d) </math>

vilket innebär en faktorisering av polynomet <math> P(x)\, </math>. Bestäm a, b, c och d genom att:

a) &nbsp; Hitta först polynomet <math> P(x)\, </math>:s nollställen (rötter) <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> exakt, dvs bibehåll bråkformen.

b) &nbsp; Sätt sedan <math> P(x) = k \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)  </math> och bestäm k genom jämförelse av koefficienter. Ange a, b, c och d.

{{#NAVCONTENT:Svar 12a|1.2 Svar 12a|Lösning 12a|1.2 Lösning 12a|Svar 12b|1.2 Svar 12b|Lösning 12b|1.2 Lösning 12b}}</div>


<!-- 
<Big><Big><Big><span style="color:blue"><u>Facit</u></span></Big></Big></Big>



== 1a) ==
<math> - 5\,x - 11 </math>

Polynom av grad 1. Koefficienter: -5 och -11.

== 1b) ==
<math> 11\,x + 1 </math>

Polynom av grad 1. Koefficienter: 11 och 1.

== 1c) ==
<math> -24\,x^2\,+\,22\,x\,+\,30 </math>

Polynom av grad 2. Koefficienter: -24, 22 och 30.

== 1d) ==
<math> {3\,x - 5 \over - 8\,x - 6} </math>

Inget polynom.

== 2a) ==
<math> - 12\,x + 2</math>

Polynom av grad 1. Koefficienter är -12 och 2.

== 2b) ==
<math> 8\,x^2 - 2\,x + 2 </math>

Polynom av grad 2. Koefficienter: 8, -2 och 2.

== 2c) ==
<math> -16\,x^4 + 8\,x^3 + 27\,x^2 - 10\,x </math>

Polynom av grad 4. Koefficienter: -16, 8, 27 och -10.

== 2d) ==
<math> {4\,x^2 - 7\,x + 2 \over -4\,x^2 - 5\,x} </math>

Inget polynom.

== 3a) ==
<math> P(x) = 2\,x^2 +\,21\,x </math>

== 3b) ==
<math> \displaystyle -19 </math>

== 3c) ==
<math> \displaystyle x_1 = 0 </math>

<math> \displaystyle x_2 = -10,5 </math>

== 4a) ==
<math> 2\,x^2 - 2\,x + 5 </math>

== 4b) ==
<math> \displaystyle 17 </math>

== 5a) ==
Vi sätter in 2,586 sekunder för x i funktionen

<math> y = f\,(x) = 90\,x - 4,9\,x^2 </math>

och får 

<math> f(2,586) = 90 \cdot 2,586 - 4,9 \cdot 2,586\,^2 = 199,97 </math>

vilket avrundat till hela meter ger 200 m.

Samma sak görs med den andra tiden 15,781 sekunder:

<math> f(15,781) = 90 \cdot 15,781 - 4,9 \cdot 15,781\,^2 = 199,99 </math>

Även detta ger avrundat 200 m.

== 5b) ==
<math> \displaystyle 413 \; \rm m </math>

== 6a) ==
Xmin = 0

Xmax = 20

Xscl = 2

Ymin = 0

Ymax = 420

Yscl = 50

== 6b) ==
[[Image: Uppg_6b_Raket_70.jpg]]

== 6c) ==
18,367 sekunder efter starten.

== 7) ==
<math> U_5(x) = 32\,x^5\,-\,32\,x^3\,+\,6\,x </math>

== 8) ==
<math> 3 \, x^4 + 2 \, x^3 - 3 \, x^2 - 4 \, x - 3 </math>

== 9) ==
Påstående:

<math> \displaystyle 2(x^2 - 1)^2 + (x + 2)(x^3 - 2) - 2x + x^2 - 1 = 3x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 3 </math> 

Bevis:

<big>VL</big> = <math> 2\,(x^2 - 1)^2 + (x + 2)\,(x^3 - 2) - 2\,x + x^2 - 1 = </math>

= <math> 2\,(x^4 - 2\,x^2 + 1) + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>

= <math> 2\,x^4 - 4\,x^2 + 2 + x^4 - 2\,x + 2\,x^3 - 4 - 2\,x + x^2 - 1 = </math>

= <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>

<big>HL</big> = <math> 3\,x^4 + 2\,x^3 - 3\,x^2 - 4\,x - 3 </math>

<big>VL = HL</big> <math> \Rightarrow </math> påståendet är bevisat.

== 10) ==
<math> a = 2\, </math>

<math> b = 3\, </math>

== 11a) ==
<math> Q(x) = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b </math>

<math> a = 2\, </math>

<math> b = 8\, </math>

== 11b) ==
2 och 8 är lösningar till 2:a gradsekvationen:

:<math> x^2 - 10\,x + 16 = 0 </math>

Prövning för 2:

VL: <math> 2^2 - 10\cdot 2 + 16 = 4 - 20 + 16 = 0 </math>

HL: <math> 0 </math>

VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 2 är en lösning.

Prövning för 8:

VL: <math> 8^2 - 10\cdot 8 + 16 = 64 - 80 + 16 = 0 </math>

HL: <math> 0 </math>

VL <math> = </math> HL <math> \Rightarrow\, </math> 8 är en lösning.

== 12a) ==
<math> x_1\, = {1 \over 8} </math>

<math> x_2\, = -1 </math>

== 12b) ==
<math> k\, = 8 </math>

<math> a\, = 8 </math>

<math> b\, = -1 </math>

<math> c\, = 1 </math>

<math> d\, = 1 </math>
-->








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.