Skillnad mellan versioner av "3.5 Extremvärdesproblem"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 8: | Rad 8: | ||
| − | [[Media: Lektion | + | [[Media: Lektion 34 Extremvardesproblem I Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 34 Extremvärdesproblem I</span></strong>]] |
| − | [[Media: Lektion | + | [[Media: Lektion 35 Extremvardesproblem II Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 35 Extremvärdesproblem II</span></strong>]] |
| − | __NOTOC__ | + | __NOTOC__ |
| − | + | ||
| − | + | ||
<big> | <big> | ||
| + | <div class="ovnE"><small> | ||
| + | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Rektangel i parabel</span></b> ==== | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 26: | Rad 26: | ||
| − | a) Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>. | + | '''a)''' Ställ upp rektangelns area som en funktion av <math> \, x \, </math> dvs <math> \, A(x) \, </math>. |
| − | b) Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> antar ett maximum. | + | '''b)''' Bestäm <math> \, x \, </math> så att <math> \, A(x) \, </math> antar ett maximum. |
| − | c) Beräkna rektangelns maximala area. | + | '''c)''' Beräkna rektangelns maximala area. |
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: 35 Rektangel i parabel.jpg]] | <td> [[Image: 35 Rektangel i parabel.jpg]] | ||
| Rad 37: | Rad 37: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | </ | + | </small></div> |
| − | </div | + | |
| + | <div class="ovnE"><small> | ||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
'''a)''' Rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} </math> | '''a)''' Rektangelns area kan skrivas som <math> \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} </math> | ||
| − | Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av | + | :Men <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, </math> är en funktion av ''två'' variabler som vi inte kan hantera. |
| − | Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> som är givet av parabelns ekvation. Rektangelns "rörliga" hörn | + | :För att skriva om den till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast ''en'' variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> elimineras. |
| + | |||
| + | :Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> som är givet av parabelns ekvation. | ||
| + | |||
| + | :Rektangelns "rörliga" hörn <math> \, (x,\,{\color{Red} y}) \, </math> måste alltid ligga på parabeln. Därför måste <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> uppfylla <strong><span style="color:red">parabelns ekvation</span></strong><span style="color:black">:</span> | ||
<div style="border:1px solid black; | <div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 50px !important; |
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 </math></strong></div> | ||
| + | :Detta samband kallas för problemets <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong>. | ||
| − | |||
| − | |||
| + | ==== <b><span style="color:#931136">Bivillkor för ett extremvärdesproblem</span></b> ==== | ||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">bivillkor</span></strong> är ett samband mellan problemets variabler och | ||
| − | + | bestäms av problemets givna geometriska eller andra egenskaper. | |
| + | </div> | ||
| − | |||
| − | + | :Exemplets bivillkor är parabelns ekvation därför att punkten <math> \, (x,\,y) \, </math> alltid måste följa parabeln (problemets geometri), se figuren ovan. | |
| − | < | + | |
| + | :Bivillkoret används för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> till en funktion av en variabel <math> \, x </math>. | ||
| − | + | :Därför sätter vi in parabelns ekvation <math> \, \displaystyle {\color{Red} y} = -\,{\, x^2 \over 2} + 5 \, </math> i rektangelns area <math> \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) = 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \, </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math>: | |
| − | + | ::::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | |
| − | + | :På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av <math> \, x \, </math>. Denna funktion kallas för problemets <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong>: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
<div style="border:1px solid black; | <div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 50px !important; |
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} </math> | ||
| − | Det är denna målfunktion som ska maximeras | + | :Det är denna målfunktion (rektangelns area) som ska maximeras. |
| − | |||
| + | ==== <b><span style="color:#931136">Målfunktion för ett extremvärdesproblem</span></b> ==== | ||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | Ett extremvärdesproblems <strong><span style="color:red">målfunktion</span></strong> är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras. | ||
| + | ---- | ||
| − | + | Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion. | |
| − | + | ---- | |
| + | Bivillkoret används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast ''en'' variabel. | ||
| + | </div> | ||
| − | |||
| − | + | :Exemplets målfunktion har definitionsmängden ovan vars vänstra ända <math> \, 0 \, </math> bestäms av att arean och därmed <math> \, x \, </math> inte kan bli negativ. | |
| − | + | :Den högra ändan <math> \, \sqrt{10} \, </math> bestäms av parabelns positiva nollställe dvs av lösningen till ekvationen <math> \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 </math>, se figuren ovan. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
---- | ---- | ||
| − | '''b)''' | + | '''b)''' För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi <math> \, A(x) \, </math> och bestämmer derivatans nollställen: |
| − | + | <table> | |
| − | + | <tr> | |
| − | + | <td> | |
::<math> A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ::<math> A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | ||
| Rad 115: | Rad 117: | ||
::<math> A''(x) \, = \, -\,6\,x </math> | ::<math> A''(x) \, = \, -\,6\,x </math> | ||
| − | |||
| − | : | + | |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \qquad </math></td> | ||
| + | <td>Derivatans nollställen: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \qquad </math></td> | ||
| + | <td><math>\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ | ||
& & 10 & = & 3\,x^2 \\ | & & 10 & = & 3\,x^2 \\ | ||
& & {10 \over 3} & = & x^2 \\ | & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ | ||
| Rad 124: | Rad 145: | ||
& & x_2 & = & -1,83 | & & x_2 & = & -1,83 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | <math> \quad\; x_2 = -1,83 \, </math> förkastas därför att det ligger utanför målfunktionens definitionsmängd <math> \, 0 \leq x \leq \sqrt{10} </math>, se '''a)'''. | ||
| − | + | :Däremot ligger <math> \, x_1 = 1,83 \, </math> inom definitionsmängden. Vi sätter in <math> \, x_1 \, </math> i andraderivatan och använder [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | <math> \qquad\quad A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 1,83 \, </math>. | |
| − | + | :För <math> \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum. | |
| − | + | ||
| − | För <math> \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum. | + | |
---- | ---- | ||
| − | '''c)''' För att bestämma rektangelns maximala area | + | '''c)''' För att bestämma rektangelns maximala area sätter vi in <math> \, x = 1,83 \, </math> i målfunktionen <math> \, A(x) </math>: |
| − | ::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> | + | :::<math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x </math> |
| − | ::<math> A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 </math> | + | :::<math> A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 </math> |
| − | + | :Rektangelns maximala area är <math> \, 12,17 \, </math>. | |
| + | </small></div> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnC"><small> |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)</span></b> == | + | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)</span></b> ==== |
| − | + | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
<td>En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm: | <td>En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm: | ||
| − | + | En glasmästare ska skära ut en rektangulär glasplatta med maximal area ur skivan. | |
| − | a) Formulera problemets bivillkor. | + | '''a)''' Formulera problemets bivillkor. |
| − | b) Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. | + | '''b)''' Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. |
| − | c) Bestäm <math> \, x \, </math> så att glasplattans area <math> \, A(x) \, </math> maximeras. | + | '''c)''' Bestäm <math> \, x \, </math> så att glasplattans area <math> \, A(x) \, </math> maximeras. |
| − | d) Beräkna glasplattans maximala area. | + | '''d)''' Beräkna glasplattans maximala area. |
</td> | </td> | ||
| − | <td> | + | <td> [[Image: Ovn 3_2_10_40.jpg]]</td> |
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | </ | + | </small></div> |
| − | </div | + | |
| + | <div class="ovnC"><small> | ||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
| − | '''a)''' Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \ | + | '''a)''' Vi inför beteckningen <math> \; {\color{Red} y} \; </math> för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} </math> |
| − | För att skriva om funktionen ovan till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast | + | För att skriva om funktionen ovan till en funktion <math> \, A\,(x) \, </math> av endast ''en'' variabel, nämligen <math> \, x \, </math>, |
| + | |||
| + | måste <math> \, {\color{Red} y} \, </math> uttryckas med <math> \, x \, </math>, så att <math> \, {\color{Red} y} \, </math> kan elimineras. | ||
| + | |||
| + | Sambandet mellan <math> \, x \, </math> och <math> \, {\color{Red} y} \, </math> bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa. | ||
| + | |||
| + | Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden: | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> | + | <td>Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. |
| − | + | ||
| − | Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. | + | |
Punkten <math> \, (x, y) \, </math> rör sig på denna räta linje vars ekvation är: | Punkten <math> \, (x, y) \, </math> rör sig på denna räta linje vars ekvation är: | ||
| Rad 188: | Rad 215: | ||
Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math> | Skärningspunkten med <math>\,y</math>-axeln<span style="color:black">:</span> <math> \quad m \, = \, 20 </math> | ||
| − | Den räta linjens ekvation blir då<span style="color:black">:</span> | + | Den räta linjens ekvation blir då problemets bivillkor<span style="color:black">:</span> |
:::<div style="border:1px solid black; | :::<div style="border:1px solid black; | ||
| Rad 196: | Rad 223: | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 </math></strong></div> | ||
</td> | </td> | ||
| − | <td> | + | <td> [[Image: Ovn 3_2_10a.jpg]] |
| + | |||
| + | |||
| + | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | '''b)''' Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math> och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av <math> \, x </math>: | + | '''b)''' Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i <math> \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; </math> för att eliminera <math> \, {\color{Red} y} \,</math> |
| + | |||
| + | och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av <math> \, x </math>: | ||
::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ::<math> A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ||
| − | Målfunktionen är<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black; | + | Målfunktionen är<span style="color:black">:</span> <div style="border:1px solid black; |
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
margin-left: 25px !important; | margin-left: 25px !important; | ||
| Rad 213: | Rad 243: | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,</math>. | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math></strong></div> med definitionsmängden<span style="color:black">:</span> <math> \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,</math>. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | '''c)''' För att | + | '''c)''' För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi <math> \, A(x) \, </math> och bestämmer derivatans nollställen: |
| − | + | <table> | |
| + | <tr> | ||
| + | <td> | ||
::<math> A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ::<math> A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x </math> | ||
| Rad 224: | Rad 254: | ||
::<math> A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} </math> | ::<math> A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3} </math> | ||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \qquad </math></td> | ||
| + | <td>Derivatans nollställen: | ||
| − | |||
| − | + | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \qquad </math></td> | ||
| + | <td><math>\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ | ||
& & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ | & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ | ||
| − | & & {20 \cdot 3 \over 4} & = & x \\ | + | & & {20 \, \cdot \, 3 \over 4} & = & x \\ |
& & x & = & 15 | & & x & = & 15 | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | |||
| − | + | </td> | |
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| − | <math> | + | <math> \, x = 15 \, </math> som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> |
| − | För <math> \, x = 15 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal. | + | <math> A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, </math> har ett lokalt maximum i <math> \, x = 15 \, </math>. |
| − | + | ||
| + | För <math> \, x = 15 \, {\rm cm} \, </math> antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal. | ||
| Rad 250: | Rad 293: | ||
Glasplattans största area blir <math> \, 150 \, {\rm cm}^2 \, </math>. | Glasplattans största area blir <math> \, 150 \, {\rm cm}^2 \, </math>. | ||
| + | </small></div> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnA"><small> |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Konservburk</span></b> == | + | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Konservburk</span></b> ==== |
| − | + | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> | + | <td>En plåtmakare har en bit plåt till förfogande och vill producera en |
| − | + | cylinderformad konservburk av den med maximal volym. | |
| − | + | Vi antar att cylinderns begränsningsarea blir <math> \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math> efter spill. | |
| − | + | Vilka mått måste plåtmakaren välja för att burkens volym ska bli maximal? | |
| − | + | '''a)''' Formulera problemets bivillkor. | |
| − | + | '''b)''' Ställ upp problemets målfunktion. | |
| − | d) Ange målfunktionens definitionsmängd. | + | '''c)''' Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal.</td> |
| + | <td> </td> | ||
| + | <td>[[Image: Konservburk_40a.jpg]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | '''d)''' Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. | ||
| − | + | '''e)''' Beräkna konservburkens maximala volym. | |
| − | + | '''f)''' Vilket samband råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math> när volymen maximeras? | |
| − | + | </small></div> | |
| − | f) Vilket samband råder mellan cylinderns radie <math> \, r \, </math> och dess höjd <math> \, h \, </math> | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | </div | + | |
| + | <div class="ovnA"><small> | ||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
<table> | <table> | ||
| Rad 298: | Rad 338: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | Därmed är bivillkoret: <div style="border:1px solid black; | + | Därmed är bivillkoret: <div style="border:1px solid black; |
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
margin-left: 25px !important; | margin-left: 25px !important; | ||
| Rad 304: | Rad 344: | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math></strong></div> | ||
</td> | </td> | ||
| − | <td> | + | <td> </td> |
| − | <td>[[Image: Zylinder01.gif]]</td> | + | <td>[[Image: Zylinder01.gif]] |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | '''b)''' Cylinderns volym <math> \, V \, </math> är basytan <math> \times </math> höjden dvs<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, </math> | |
| − | + | För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel, | |
| − | + | sätter vi in bivillkoret från a) i <math> \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, </math> och eliminerar <math> \, {\color{Red} h} \, </math>: | |
:::<math> V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 </math> | :::<math> V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 </math> | ||
| − | Därmed är målfunktionen: <div style="border:1px solid black; | + | |
| + | Därmed är målfunktionen: <div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
margin-left: 25px !important; | margin-left: 25px !important; | ||
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math></strong></div> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
'''c)''' Målfunktionen maximeras: | '''c)''' Målfunktionen maximeras: | ||
| − | + | <table> | |
| + | <tr> | ||
| + | <td> | ||
::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math> | ::<math> V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 </math> | ||
| Rad 337: | Rad 382: | ||
::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math> | ::<math> V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r </math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | </td> | |
| + | <td><math> \qquad </math></td> | ||
| + | <td>Derivatans nollställen: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | </td> | |
| + | <td><math> \qquad </math></td> | ||
| + | <td><math>\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ | ||
| + | & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ | ||
| + | & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ | ||
| + | & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ | ||
| + | & & r & = & 5,15 | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | <math> r_2 = -5,15 \, </math> förkastas, för radien kan inte bli negativ. | ||
| − | + | <math> \, r = 5,15 \, </math> som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Regler_om_max.2Fmin_med_andraderivatan|<strong><span style="color:blue">reglerna om max/min</span></strong>]]<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | <math> V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, </math> har ett lokalt maximum för <math> \, r = 5,15 \, </math>. | |
| − | För att | + | För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in <math> \, r = 5,15 \, </math> i bivillkoret från a)<span style="color:black">:</span> |
| − | + | ::::<math> h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 </math> | |
| − | + | Cylinderns volym blir maximal för radien <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och höjden <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; </math>. | |
| − | |||
| − | ::: | + | '''d)''' För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret<span style="color:black">:</span> <math> \qquad h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r </math> |
| + | |||
| + | Av detta framgår att <math> \; r \; </math> inte får vara <math> \, 0 \, </math><span style="color:black">:</span> <math> \; r \, \neq \, 0 \; </math>. Därför är <math> \, 0 \, </math> en undre gräns<span style="color:black">:</span> <math> \qquad r \, > \, 0 </math> | ||
| + | |||
| + | För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för <math> \; r \; </math> tittar vi på cylinderns begränsningsarea: | ||
| + | |||
| + | :::::<math> \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 </math> | ||
| + | |||
| + | Pga begränsningsareans konstanta värde <math> \, 500 \, </math> blir cylinderns radie störst när höjden blir <math> \, 0 \, </math>. | ||
| − | + | Därför får vi radiens största värde <math> \, r_{max} \, </math> om vi i formeln ovan väljer <math> \, h=0 \, </math>: | |
| − | :::::<math> \, r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 </math> | + | :::::<math> \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 \qquad \Longrightarrow \qquad r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 </math> |
| − | Därmed blir målfunktionens definitionsmängd: | + | Därmed blir målfunktionens definitionsmängd: |
::::<div style="border:1px solid black; | ::::<div style="border:1px solid black; | ||
| Rad 392: | Rad 442: | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 </math></strong></div> | ||
| − | Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av <math> \, r \, </math> med definitionsmängden ovan: | + | Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av <math> \, r \, </math> med definitionsmängden ovan: |
| − | [[Image: Konservburk Grafer.jpg]] | + | :[[Image: Konservburk Grafer.jpg]] |
| − | Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för <math> \, r = 5,15 \, </math>. | + | Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för <math> \, r = 5,15 \, </math>. |
| − | Bivillkorets graf visar att <math> \, r \, </math> inte kan bli större än <math> \, 8,92 \, </math>, medan <math> \, h \, </math> kan växa obegränsat när <math> \, r \, </math> går mot <math> \, 0 \, </math>. | + | Bivillkorets graf visar att <math> \, r \, </math> inte kan bli större än <math> \, 8,92 \, </math>, medan <math> \, h \, </math> kan växa obegränsat när <math> \, r \, </math> går mot <math> \, 0 \, </math>. |
| − | + | ||
| Rad 406: | Rad 455: | ||
::<math> V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 </math> | ::<math> V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 </math> | ||
| − | Konservburkens maximala volym blir <math> \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; </math>. | + | Konservburkens maximala volym blir <math> \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; </math>. |
| − | + | ||
| − | '''f)''' Följande samband råder mellan cylinderns radie <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och dess höjd <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm} | + | '''f)''' Följande samband råder mellan cylinderns radie <math> \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; </math> och dess höjd <math> \; h = 10,30 \, {\rm cm}</math> |
| + | |||
| + | när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på <math> \, 500 \, {\rm cm}^2 \, </math>, maximeras: | ||
::::<div style="border:1px solid black; | ::::<div style="border:1px solid black; | ||
| Rad 417: | Rad 467: | ||
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 2 \; r \; = \; h </math></strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong><math> 2 \; r \; = \; h </math></strong></div> | ||
| + | </small></div> | ||
| − | Återstår frågan om samma samband även råder generellt mellan radien <math> \; r \; </math> och höjden <math> \; h \; </math> för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym: | + | |
| + | Återstår frågan som är föremål för undersökning i [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_9|<strong><span style="color:blue">övning 9</span></strong>]], om samma samband även råder <strong><span style="color:red">generellt</span></strong> mellan radien <math> \; r \; </math> och höjden <math> \; h \; </math> för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym, nämligen: | ||
::<div style="border:1px solid black; | ::<div style="border:1px solid black; | ||
display:inline-block !important; | display:inline-block !important; | ||
| − | margin-left: | + | margin-left: 70px !important; |
padding:10px 10px 10px 10px; | padding:10px 10px 10px 10px; | ||
-webkit-border-radius: 10px;"><strong> Diametern <math> \; = \; </math> Höjden </strong></div> | -webkit-border-radius: 10px;"><strong> Diametern <math> \; = \; </math> Höjden </strong></div> | ||
| − | + | En annan intressant frågeställning är: | |
| − | Råder även | + | Råder även sambandet ovan om man utgår från en konservburk med fast given volym vars materialåtgång ska minimeras? |
| − | En närmare undersökning kommer att visa att detta är fallet. | + | En närmare undersökning liknande lösningen till [[3.5_Extremvärdesproblem#Exempel_3_Konservburk|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]] kommer att visa att detta är fallet. |
| + | |||
| + | Dvs sambandet ovan är alltid optimalt ur ekonomisk synpunkt. | ||
| Rad 437: | Rad 491: | ||
Se [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_7|<strong><span style="color:blue">övning 7</span></strong>]]. | Se [[3.5_Övningar_till_Extremvärdesproblem#.C3.96vning_7|<strong><span style="color:blue">övning 7</span></strong>]]. | ||
| − | + | </big> | |
Versionen från 2 januari 2016 kl. 22.20
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar |
Lektion 34 Extremvärdesproblem I
Lektion 35 Extremvärdesproblem II
Exempel 1 Rektangel i parabel
En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given:
Punkten \( \, (x,\,y) \, \) rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så att rektangelns area \( \, A \, \) blir så stor som möjligt.
b) Bestäm \( \, x \, \) så att \( \, A(x) \, \) antar ett maximum. c) Beräkna rektangelns maximala area. |
|
Lösning:
a) Rektangelns area kan skrivas som \( \quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y} \)
- Men \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, \) är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera.
- För att skriva om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste \( \, {\color{Red} y} \, \) elimineras.
- Det gör vi genom att utnyttja sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) som är givet av parabelns ekvation.
- Rektangelns "rörliga" hörn \( \, (x,\,{\color{Red} y}) \, \) måste alltid ligga på parabeln. Därför måste \( \, x \, \) och \( \, y \, \) uppfylla parabelns ekvation:
\( \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \)
- Detta samband kallas för problemets bivillkor.
Bivillkor för ett extremvärdesproblem
Ett extremvärdesproblems bivillkor är ett samband mellan problemets variabler och
bestäms av problemets givna geometriska eller andra egenskaper.
- Exemplets bivillkor är parabelns ekvation därför att punkten \( \, (x,\,y) \, \) alltid måste följa parabeln (problemets geometri), se figuren ovan.
- Bivillkoret används för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler \( \, x \, \) och \( \, y \, \) till en funktion av en variabel \( \, x \).
- Därför sätter vi in parabelns ekvation \( \, \displaystyle {\color{Red} y} = -\,{\, x^2 \over 2} + 5 \, \) i rektangelns area \( \, A\,(x, \, {\color{Red} y}) = 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \, \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av \( \, x \, \). Denna funktion kallas för problemets målfunktion:
\( A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \)
med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10} \)
- Det är denna målfunktion (rektangelns area) som ska maximeras.
Målfunktion för ett extremvärdesproblem
Ett extremvärdesproblems målfunktion är alltid den funktion som ska maximeras eller minimeras.
Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion.
Bivillkoret används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.
- Exemplets målfunktion har definitionsmängden ovan vars vänstra ända \( \, 0 \, \) bestäms av att arean och därmed \( \, x \, \) inte kan bli negativ.
- Den högra ändan \( \, \sqrt{10} \, \) bestäms av parabelns positiva nollställe dvs av lösningen till ekvationen \( \, \displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0 \), se figuren ovan.
b) För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi \( \, A(x) \, \) och bestämmer derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | Derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | \(\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\) |
\( \quad\; x_2 = -1,83 \, \) förkastas därför att det ligger utanför målfunktionens definitionsmängd \( \, 0 \leq x \leq \sqrt{10} \), se a).
- Däremot ligger \( \, x_1 = 1,83 \, \) inom definitionsmängden. Vi sätter in \( \, x_1 \, \) i andraderivatan och använder reglerna om max/min:
\( \qquad\quad A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).
- För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.
c) För att bestämma rektangelns maximala area sätter vi in \( \, x = 1,83 \, \) i målfunktionen \( \, A(x) \):
- \[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \]
- \[ A(1,83) = -\,1,83^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17 \]
- Rektangelns maximala area är \( \, 12,17 \, \).
Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)
| En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:
En glasmästare ska skära ut en rektangulär glasplatta med maximal area ur skivan. a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd. c) Bestäm \( \, x \, \) så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) maximeras. d) Beräkna glasplattans maximala area. |
 |
Lösning:
a) Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \)
För att skriva om funktionen ovan till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \),
måste \( \, {\color{Red} y} \, \) uttryckas med \( \, x \, \), så att \( \, {\color{Red} y} \, \) kan elimineras.
Sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \) bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa.
Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden:
| Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje.
Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje vars ekvation är:
Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då problemets bivillkor:
|
|
b) Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\)
och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):
- \[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
\( A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \)
med definitionsmängden: \( \quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,\).
c) För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi \( \, A(x) \, \) och bestämmer derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | Derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | \(\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\
& & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\
& & {20 \, \cdot \, 3 \over 4} & = & x \\
& & x & = & 15
\end{array}\)
|
\( \, x = 15 \, \) som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:
\( A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 15 \, \).
För \( \, x = 15 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.
d) Eftersom rektangeln får sin största area för \( \, x = 15 \, \) sätter vi in \( \, x = 15 \, \) i målfunktionen för att få största arean:
- \[ A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]
- \[ A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150 \]
Glasplattans största area blir \( \, 150 \, {\rm cm}^2 \, \).
Exempel 3 Konservburk
| En plåtmakare har en bit plåt till förfogande och vill producera en
cylinderformad konservburk av den med maximal volym. Vi antar att cylinderns begränsningsarea blir \( \, = \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \) efter spill. Vilka mått måste plåtmakaren välja för att burkens volym ska bli maximal? a) Formulera problemets bivillkor. b) Ställ upp problemets målfunktion. c) Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal. |
|
d) Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen.
e) Beräkna konservburkens maximala volym.
f) Vilket samband råder mellan cylinderns radie \( \, r \, \) och dess höjd \( \, h \, \) när volymen maximeras?
Lösning:
a) Begränsningsarean \( \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \)
\( h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
|
|
b) Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, \)
För att skriva om denna funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel,
sätter vi in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):
- \[ V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]
\( V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \)
c) Målfunktionen maximeras:
|
\( \qquad \) | Derivatans nollställen:
|
\( \qquad \) | \(\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}\) |
\( r_2 = -5,15 \, \) förkastas, för radien kan inte bli negativ.
\( \, r = 5,15 \, \) som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:
\( V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 5,15 \, \).
För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 5,15 \, \) i bivillkoret från a):
- \[ h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30 \]
Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10,30 \, {\rm cm} \; \).
d) För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar vi först på bivillkoret: \( \qquad h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \)
Av detta framgår att \( \; r \; \) inte får vara \( \, 0 \, \): \( \; r \, \neq \, 0 \; \). Därför är \( \, 0 \, \) en undre gräns: \( \qquad r \, > \, 0 \)
För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för \( \; r \; \) tittar vi på cylinderns begränsningsarea:
- \[ \, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500 \]
Pga begränsningsareans konstanta värde \( \, 500 \, \) blir cylinderns radie störst när höjden blir \( \, 0 \, \).
Därför får vi radiens största värde \( \, r_{max} \, \) om vi i formeln ovan väljer \( \, h=0 \, \):
- \[ \, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r_{max}\right)\,^2 \, = \, 500 \qquad \Longrightarrow \qquad r_{max} \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92 \]
Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:
- \( 0 \; < \; r \; \leq \; 8,92 \)
Grafen till vänster visar bivillkoret och grafen till höger målfunktionen, båda som funktioner av \( \, r \, \) med definitionsmängden ovan:
Målfunktionens graf visar att volymen blir maximal för \( \, r = 5,15 \, \).
Bivillkorets graf visar att \( \, r \, \) inte kan bli större än \( \, 8,92 \, \), medan \( \, h \, \) kan växa obegränsat när \( \, r \, \) går mot \( \, 0 \, \).
e) Resultaten från c) sätter vi in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:
- \[ V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23 \]
Konservburkens maximala volym blir \( \; 858,23 \, {\rm cm}^3 \; \).
f) Följande samband råder mellan cylinderns radie \( \; r = 5,15 \, {\rm cm} \; \) och dess höjd \( \; h = 10,30 \, {\rm cm}\)
när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på \( \, 500 \, {\rm cm}^2 \, \), maximeras:
- \( 2 \; r \; = \; h \)
Återstår frågan som är föremål för undersökning i övning 9, om samma samband även råder generellt mellan radien \( \; r \; \) och höjden \( \; h \; \) för alla konservburkar med given begränsningsarea och maximal volym, nämligen:
- Diametern \( \; = \; \) Höjden
En annan intressant frågeställning är:
Råder även sambandet ovan om man utgår från en konservburk med fast given volym vars materialåtgång ska minimeras?
En närmare undersökning liknande lösningen till Exempel 3 kommer att visa att detta är fallet.
Dvs sambandet ovan är alltid optimalt ur ekonomisk synpunkt.
Ett ekonomiskt exempel
Se övning 7.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
