Skillnad mellan versioner av "Varför är division med 0 inte definierad?"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (17 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
När man matar in <math> \, 1 \, / \, 0 \, </math> i räknaren får man <b><span style="color:red">ERROR</span></b>. | När man matar in <math> \, 1 \, / \, 0 \, </math> i räknaren får man <b><span style="color:red">ERROR</span></b>. | ||
| − | + | Varför? | |
</big> | </big> | ||
| − | |||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| Rad 69: | Rad 68: | ||
Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math> när <math> \, x \, \to \, 0 </math>. | Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math> när <math> \, x \, \to \, 0 </math>. | ||
| − | + | Att dividera med <math> \, 0 \, </math> skulle kräva införandet av <math> \, \infty \, </math> som ett tal. | |
| + | |||
| + | Men varför är <b><span style="color:red"> <math> \, \infty \, </math> inget reellt tal</span></b> ? | ||
| − | Vilket tal man än | + | Vilket reellt tal man än inför som värde för <math> \, \infty \, </math> kan man genom att t.ex. addera 1 till det |
| − | + | få ett ännu större tal. Så det valda värdet var inte störst osv. | |
</div> | </div> | ||
| Rad 83: | Rad 84: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| − | Vad betyder <b>division</b> | + | Vad betyder <b>division</b>, t.ex. <math> \, 12 / \color{Red} 4 \, </math>? |
::<math> 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 4 = 12 </math> | ::<math> 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 4 = 12 </math> | ||
| Rad 103: | Rad 104: | ||
<b>Alternativt:</b> | <b>Alternativt:</b> | ||
| − | Ett annat sätt | + | Ett annat sätt är att tolka <b>divisionen</b> som en <b>upprepad subtraktion</b>: |
| − | + | Operationen <math> \, 12 / \color{Red} 4 \, </math> kan nämligen tolkas som<span style="color:black">:</span> | |
<math> \qquad\qquad 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad </math> Därför<span style="color:black">:</span> <math> \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math> | <math> \qquad\qquad 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad </math> Därför<span style="color:black">:</span> <math> \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math> | ||
| Rad 115: | Rad 116: | ||
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre: | Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre: | ||
| − | + | Vi kan aldrig "tömma" <math> \, 12 \, </math> genom upprepad subtraktion med <math> \, \color{Red} 0 \, </math> (dvs division med <math> \, \color{Red} 0 \, </math>). | |
</div> | </div> | ||
<big> | <big> | ||
| − | + | Slutsats: | |
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inom de reella talen inte definierad.</span></b> | <b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inom de reella talen inte definierad.</span></b> | ||
| Rad 141: | Rad 142: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 2 januari 2021 kl. 12.53
| << Tillbaka till demosidan | Vad händer om man gör det? |
I hela det här avsnittet avses med tal de reella talen, se Olika typer av tal.
När man matar in \( \, 1 \, / \, 0 \, \) i räknaren får man ERROR.
Varför?
Praktisk förklaring
Istället för att mata in \( \, 1 \, / \, 0-\) för då får du ERROR \(-\) mata in i din miniräknare:
- \[ \boxed{1 \, / \, 0,1} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,01} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,001} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,0001} \qquad \ldots \]
|
\( \qquad\quad \) | Eller rita grafen \( \, y \, = \, 1/x \, \) och titta på \( \, x \rightarrow 0 \,\):
|
Både tabellen och grafen visar:
Ju mindre \( \, x \, \) blir desto större blir \( \, 1/x \, \). I gränsfallet \( \, x=0 \, \) blir \( \, 1/x \, \) oändligt stort.
Man säger: \( \displaystyle {1 \over x} \) går mot oändligheten när \( \, x\, \) går mot \( \, 0\). Symbolen för oändligheten är \( \infty \, \).
Men \( \infty \) är inget reellt tal. Därför är det fel att skriva \( \displaystyle \, {1 \over 0} \; = \; \infty \; \).
Korrekt: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).
Att dividera med \( \, 0 \, \) skulle kräva införandet av \( \, \infty \, \) som ett tal.
Men varför är \( \, \infty \, \) inget reellt tal ?
Vilket reellt tal man än inför som värde för \( \, \infty \, \) kan man genom att t.ex. addera 1 till det
få ett ännu större tal. Så det valda värdet var inte störst osv.
Teoretisk förklaring
Vad betyder division, t.ex. \( \, 12 / \color{Red} 4 \, \)?
- \[ 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 4 = 12 \]
Uppenbarligen är detta tal \( \quad x = 3 \quad \) därför att \( \, 3 \cdot \color{Red} 4 = 12 \).
Nu ersätter vi \( \, \color{Red} 4 \, \) med \( \, \color{Red} 0 \, \):
Vad betyder då \( \, 12 / \color{Red} 0 \, \)?
- \[ 12 / \color{Red} 0 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x \; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} \]
Därför att: Det finns inget sådant tal \( \, x \, \) eftersom \( \;\; x \cdot \color{Red} 0 = 0 \;\;\; \neq 12 \, \).
Alternativt:
Ett annat sätt är att tolka divisionen som en upprepad subtraktion:
Operationen \( \, 12 / \color{Red} 4 \, \) kan nämligen tolkas som:
\( \qquad\qquad 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad \) Därför: \( \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \)
Nu ersätter vi \( \, \color{Red} 4 \, \) med \( \, \color{Red} 0 \, \):
Operationen \( \, 12 / \color{Red} 0 \, \) kan tolkas som: \( \qquad 12 \; - \, \color{Red} 0 \, - \, \color{Red} 0 \, - \, \ldots - \, \color{Red} 0 \; = \; 12 \)
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre:
Vi kan aldrig "tömma" \( \, 12 \, \) genom upprepad subtraktion med \( \, \color{Red} 0 \, \) (dvs division med \( \, \color{Red} 0 \, \)).
Slutsats:
Division med \( \, 0 \, \) är inom de reella talen inte definierad.
Se även: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
