Skillnad mellan versioner av "Varför är division med 0 inte definierad?"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(40 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 3: Rad 3:
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
{{Not selected tab|[[Huvudsida| <<&nbsp;&nbsp;Tillbaka till demosidan]]}}
 
{{Not selected tab|[[Huvudsida| <<&nbsp;&nbsp;Tillbaka till demosidan]]}}
−
{{Not selected tab|[[Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?|Vad händer om man gör det?]]}}
+
{{Not selected tab|[[Vad som kan hända om man ändå dividerar med 0|Vad händer om man gör det?]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 9: Rad 9:
  
 
<big>
 
<big>
−
Om man matar in <math> \, 1 \, / \, 0 \, </math> i räknaren får man <b><span style="color:red">ERROR</span></b>.
+
I hela det här avsnittet avses med [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">tal</span></b>]] de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>]].
  
−
Men varför? Detta kan förklaras både praktiskt och teoretiskt:
+
När man matar in <math> \, 1 \, / \, 0 \, </math> i räknaren får man <b><span style="color:red">ERROR</span></b>.
−
</big>
+
  
 +
Varför?
 +
</big>
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
Rad 63: Rad 64:
 
Man säger<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle {1 \over x} </math> går mot oändligheten när <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 0</math>. Symbolen för oändligheten är <math> \infty \, </math>.
 
Man säger<span style="color:black">:</span> <math> \displaystyle {1 \over x} </math> går mot oändligheten när <math> \, x\, </math> går mot <math> \, 0</math>. Symbolen för oändligheten är <math> \infty \, </math>.
  
−
Men <b><span style="color:red"> <math> \infty </math> är inget tal</span></b>. Därför är det fel att skriva <math> \displaystyle \, {1 \over 0} = \infty \qquad\qquad </math>.
+
Men <b><span style="color:red"> <math> \infty </math> är inget reellt tal</span></b>. Därför är det fel att skriva <math> \displaystyle \, {1 \over 0} \; = \; \infty \; </math>.
  
−
Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math>  när <math> \, x \, \to \, 0 </math>.
+
Korrekt<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, </math>  när <math> \, x \, \to \, 0 </math>.
 +
 
 +
Att dividera med <math> \, 0 \, </math> skulle kräva införandet av <math> \, \infty \, </math> som ett tal.
 +
 
 +
Men varför är <b><span style="color:red"> <math> \, \infty \, </math> inget reellt tal</span></b>&nbsp; ?
 +
 
 +
Vilket reellt tal man än inför som värde för <math> \, \infty \, </math> kan man genom att t.ex. addera 1 till det
 +
 
 +
få ett ännu större tal. Så det valda värdet var inte störst osv.
 
</div>
 
</div>
  
Rad 75: Rad 84:
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
Vad betyder <b>division</b>?&nbsp;&nbsp;&nbsp;Vad betyder t.ex. <math> \, 12 / \color{Red} 4 \, </math>?
+
Vad betyder <b>division</b>, t.ex. <math> \, 12 / \color{Red} 4 \, </math>?
  
 
::<math> 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;}  x \cdot \color{Red} 4 = 12 </math>
 
::<math> 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;}  x \cdot \color{Red} 4 = 12 </math>
Rad 95: Rad 104:
 
<b>Alternativt:</b>
 
<b>Alternativt:</b>
  
−
Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med <math> \, 0  \, </math> är att tolka <b>divisionen</b> som en  
+
Ett annat sätt är att tolka <b>divisionen</b> som en <b>upprepad subtraktion</b>:
  
−
<b>upprepad subtraktion</b>. Operationen <math> \, 12 / \color{Red} 4 \, </math> kan nämligen tolkas som<span style="color:black">:</span>
+
Operationen <math> \, 12 / \color{Red} 4 \, </math> kan nämligen tolkas som<span style="color:black">:</span>
  
−
::<math> 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
+
<math> \qquad\qquad 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad </math> Därför<span style="color:black">:</span> <math> \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
  
 
Nu ersätter vi <math> \, \color{Red} 4 \, </math> med <math> \, \color{Red} 0 \, </math>:
 
Nu ersätter vi <math> \, \color{Red} 4 \, </math> med <math> \, \color{Red} 0 \, </math>:
Rad 107: Rad 116:
 
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre:
 
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre:
  
−
En oändlig process ger inget resultat.
+
Vi kan aldrig "tömma" <math> \, 12 \, </math> genom upprepad subtraktion med <math> \, \color{Red} 0 \, </math> (dvs division med <math> \, \color{Red} 0 \, </math>).
 
</div>
 
</div>
 +
  
 
<big>
 
<big>
−
<b>Slutsats:</b>
+
Slutsats:
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inte definierad.</span></b>
+
<b><span style="color:#931136">Division med <math> \, 0 \, </math> är inom de reella talen inte definierad.</span></b>
 
</div>  
 
</div>  
  
−
Se även: [[Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?|<b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>]]
+
 
 +
Se även: [[Vad som kan hända om man ändå dividerar med 0|<b><span style="color:blue">Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?</span></b>]]
  
 
</big>
 
</big>
Rad 131: Rad 142:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 januari 2021 kl. 12.53

        <<  Tillbaka till demosidan          Vad händer om man gör det?      


I hela det här avsnittet avses med tal de reella talen, se Olika typer av tal.

När man matar in \( \, 1 \, / \, 0 \, \) i räknaren får man ERROR.

Varför?

Praktisk förklaring

Istället för att mata in \( \, 1 \, / \, 0-\) för då får du ERROR \(-\) mata in i din miniräknare:

\[ \boxed{1 \, / \, 0,1} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,01} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,001} \qquad \boxed{1 \, / \, 0,0001} \qquad \ldots \]
\( x\, \) \( 1 \, / \, x \)
\( 0,1\, \) \( 10\, \)
\( 0,01\, \) \( 100\, \)
\( 0,001\, \) \( 1000\, \)
\( 0,000\,1 \) \( 10\,000 \)
\( 0,000\,01 \) \( 100\,000 \)
\( 0,000\,001 \) \( 1\,000\,000 \)
\( 0,000\,000\,1 \) \( 10\,000\,000 \)
\( \cdots \) \( \cdots \)
\( \to 0 \) \( \to \infty \)
\( \qquad\quad \) Eller rita grafen \( \, y \, = \, 1/x \, \) och titta på \( \, x \rightarrow 0 \,\):

    Praktisk forklaring.jpg


Både tabellen och grafen visar:

Ju mindre \( \, x \, \) blir desto större blir \( \, 1/x \, \). I gränsfallet \( \, x=0 \, \) blir \( \, 1/x \, \) oändligt stort.

Man säger: \( \displaystyle {1 \over x} \) går mot oändligheten när \( \, x\, \) går mot \( \, 0\). Symbolen för oändligheten är \( \infty \, \).

Men \( \infty \) är inget reellt tal. Därför är det fel att skriva \( \displaystyle \, {1 \over 0} \; = \; \infty \; \).

Korrekt: \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; \displaystyle \, {1 \over x} \, \to \, \infty \, \) när \( \, x \, \to \, 0 \).

Att dividera med \( \, 0 \, \) skulle kräva införandet av \( \, \infty \, \) som ett tal.

Men varför är \( \, \infty \, \) inget reellt tal  ?

Vilket reellt tal man än inför som värde för \( \, \infty \, \) kan man genom att t.ex. addera 1 till det

få ett ännu större tal. Så det valda värdet var inte störst osv.


Teoretisk förklaring

Vad betyder division, t.ex. \( \, 12 / \color{Red} 4 \, \)?

\[ 12 / \color{Red} 4 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x\; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 4 = 12 \]

Uppenbarligen är detta tal \( \quad x = 3 \quad \) därför att \( \, 3 \cdot \color{Red} 4 = 12 \).

Nu ersätter vi \( \, \color{Red} 4 \, \) med \( \, \color{Red} 0 \, \):

Vad betyder då \( \, 12 / \color{Red} 0 \, \)?

\[ 12 / \color{Red} 0 = x \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;} x \; {\rm så\;att\;} x \cdot \color{Red} 0 = 12 \quad {\rm {\color{Red} {Motsägelse!}}} \]

Därför att:    Det finns inget sådant tal \( \, x \, \) eftersom \( \;\; x \cdot \color{Red} 0 = 0 \;\;\; \neq 12 \, \).


Alternativt:

Ett annat sätt är att tolka divisionen som en upprepad subtraktion:

Operationen \( \, 12 / \color{Red} 4 \, \) kan nämligen tolkas som:

\( \qquad\qquad 12 \; \underbrace{- \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4 \, - \, \color{Red} 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad \) Därför: \( \qquad 12 \, / \, \color{Red} 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \)

Nu ersätter vi \( \, \color{Red} 4 \, \) med \( \, \color{Red} 0 \, \):

Operationen \( \, 12 / \color{Red} 0 \, \) kan tolkas som: \( \qquad 12 \; - \, \color{Red} 0 \, - \, \color{Red} 0 \, - \, \ldots - \, \color{Red} 0 \; = \; 12 \)

Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre:

Vi kan aldrig "tömma" \( \, 12 \, \) genom upprepad subtraktion med \( \, \color{Red} 0 \, \) (dvs division med \( \, \color{Red} 0 \, \)).


Slutsats:

Division med \( \, 0 \, \) är inom de reella talen inte definierad.


Se även: Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?







Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "http://34.248.89.132:1800/index.php?title=Varför_är_division_med_0_inte_definierad%3F&oldid=29064"