Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (19 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
| − | [[Media: | + | <!-- [[Media: Lektion_13_Genomsnittlig_forandringshastigheta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet</span></b>]] --> |
<big> | <big> | ||
=== <b><span style="color:#931136">Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet</span></b> === | ||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ==== | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ==== | ||
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr. | Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr. | ||
| − | |||
| − | |||
I [https://www.skatteverket.se/download/18.3152d9ac158968eb8fd2129/manadslon_tabell35.pdf <b><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></b>] för 2017 hittar vi <math> \, 5\;579 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;955 \, </math> kr skatt för den nya lönen. | I [https://www.skatteverket.se/download/18.3152d9ac158968eb8fd2129/manadslon_tabell35.pdf <b><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></b>] för 2017 hittar vi <math> \, 5\;579 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;955 \, </math> kr skatt för den nya lönen. | ||
| − | '''Lösning:''' <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> | + | Beräkna <b><span style="color:#931136">marginalskatten</span></b> som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt. |
| + | |||
| + | '''Lösning:''' <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Skatten som en [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">diskret funktion</span></b>]] av lönen: | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 75: | Rad 75: | ||
::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 </math> | ::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 </math> | ||
| − | I intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 \, </math> har funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \, \color{Red} 2 </math>. | + | I intervallet <math> \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, </math> har funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \, \color{Red} 2 </math>. |
Dvs funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> \, \color{Red} 2 \; y</math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet. | Dvs funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> \, \color{Red} 2 \; y</math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet. | ||
| Rad 84: | Rad 84: | ||
</table> | </table> | ||
| − | '''Geometrisk tolkning''': Om | + | '''Geometrisk tolkning''': Om kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 \, </math> ersätts av en <b><span style="color:red">rät linje</span></b>, kallad <b><span style="color:red">sekant</span></b>, har denna linje lutningen <math> \, \color{Red} 2 </math>. |
:::::::Sekantens <b><span style="color:red">lutning</span></b> är kurvans <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>. | :::::::Sekantens <b><span style="color:red">lutning</span></b> är kurvans <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>. | ||
| Rad 108: | Rad 108: | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. | + | <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. |
| − | :::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math> | + | Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym<span style="color:black">:</span> |
| + | |||
| + | :::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math> | ||
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math> | där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math> | ||
| Rad 117: | Rad 119: | ||
'''a)''' Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. | '''a)''' Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. | ||
| − | '''b)''' Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet | + | '''b)''' Hur stor är oljans <b><span style="color:red">genomsnittliga utströmningshastighet</span></b> |
| − | från början tills tanken är tom. | + | i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom. |
</td> | </td> | ||
<td> [[Image: Ex2a.jpg]]</td> | <td> [[Image: Ex2a.jpg]]</td> | ||
| Rad 134: | Rad 136: | ||
:Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span> | :Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span> | ||
| − | <math> | + | ::::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math> |
| − | :Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom<span style="color:black">:</span> <math> \ | + | :[[Grafritning och ekvationslösning med räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></b>]] visar att <math> \, x = 45\, </math> är även den exakta lösningen. |
| + | |||
| + | :Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} </math> | ||
:I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet<span style="color:black">:</span> | :I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 142: | Rad 146: | ||
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} </math> | :::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} </math> | ||
| − | :Dvs i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 45 \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut. | + | :Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut. |
| Rad 153: | Rad 157: | ||
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} </math> | :::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} </math> | ||
| − | :Dvs i intervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut. | + | :Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut. |
</div> <!-- exempel3 --> | </div> <!-- exempel3 --> | ||
</small> | </small> | ||
| Rad 168: | Rad 172: | ||
'''Sökt''': Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>. | '''Sökt''': Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>. | ||
| − | '''Lösning''': <math> \displaystyle | + | '''Lösning''': <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan. |
| − | '''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math> | + | '''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''': |
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket. | Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket. | ||
| Rad 183: | Rad 187: | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | <b><span style="color:#931136">Funktionen | + | <b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b> |
| − | ::::<small><math> \quad \displaystyle | + | ::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math> |
| − | + | ||
| − | + | Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
</div> | </div> | ||
| − | + | Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| Rad 289: | Rad 216: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 23.26
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet
Exempel 1 Marginalskatt
Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.
I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.
Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.
Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Skatten som en diskret funktion av lönen:
\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr. |
\( \quad \) |  |
Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]
I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).
Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.
Matematisk tolkning: Marginalskatten \( = \) Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.
Ekonomisk tolkning: Marginalskatten är \( \, 31,3 \, \% \), dvs Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.
Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:
Exempel 2 Kvadratisk funktion
Givet: Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \). Lösning:
I intervallet \( \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \). Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet. |
 |
Geometrisk tolkning: Om kurvan \( \, y = x^2 \, \) i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) ersätts av en rät linje, kallad sekant, har denna linje lutningen \( \, \color{Red} 2 \).
- Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).
Generellt gäller:
En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten)
som ersätter funktionen i intervallet.
Exempel 3 Oljetank
| En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym:
där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
a) Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. b) Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom. |
 |
c) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).
Lösning:
a) Se grafen ovan.
b) Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.
- Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
- \[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]
- Ekvationslösning med miniräknare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.
- Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \)
- I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]
- Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.
c) Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):
- \[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
- \[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]
- Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.
Allmän definition
Givet: Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).
Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).
Lösning: \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
Övergång till notation med intervallängden \( \, h \, \):
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
Denna variant som används vid derivatans definition får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:
- \[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]
Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:
Funktionen \( \, y = f\,(x)\,\):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:
- \( \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)
Andra beteckningar som allihopa är synonymer: \( \quad \) Förändringskvot \( \quad \) Ändringskvot \( \quad \) Differenskvot
Uttrycket ovan användes redan i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM
http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.
